¿Cómo saber si un problema es convexo?

Una función continuamente diferenciable de una variable es convexa en un intervalo si y solo si la función se encuentra por encima de todas sus tangentes: f(y) ≥ f(x) + f '(x) (y − x) para todo x e y en el intervalo. En particular, si f '(c) = 0, luego c es un mínimo absoluto de f(x).

Un problema convexo es una clase de problemas de optimización continua. En cualquier tipo de problema de optimización tienes una función a optimizar (llamada el costo o la pérdida) y un conjunto de restricciones sobre el espacio de soluciones.

Una función es cóncava en un punto cuando la función cae por debajo de la tangente en ese punto. En el ejemplo, puede comprobarse que la función en x=0 es cóncava. Una función es convexa en un punto cuando la función cae por encima de la tangente en ese punto.

Una combinación convexa es una combinación lineal de puntos (los cuales pueden ser vectores, escalares o más en general puntos en un espacio afín) donde todos los coeficientes son no negativos y suman 1. Todas las posibles combinaciones convexas están dentro de la envoltura convexa de los puntos dados.

Una función continuamente diferenciable de una variable es convexa en un intervalo si y solo si la función se encuentra por encima de todas sus tangentes: f(y) ≥ f(x) + f '(x) (y − x) para todo x e y en el intervalo. En particular, si f '(c) = 0, luego c es un mínimo absoluto de f(x).

La convexidad (del latín convexĭtas, -ātis) de una curva o una superficie, es la zona que se asemeja al exterior de una circunferencia o una superficie esférica, es decir, que tiene su parte sobresaliente dirigida al observador. Es el concepto opuesto a la 'concavidad'.

Para entendernos, un espejo plano muestra las cosas tal y como son en cuanto a distancia y tamaño; un espejo cóncavo, por contrario, las muestra más cercanas y grandes; por último, en uno convexo, el que aquí nos ocupa, las cosas aparecen más lejanas y pequeñas por la curvatura del mismo.

En cambio, la convexidad es la línea curva que predice con mayor precisión cualquier cambio en el precio de un bono en línea con los cambios de los tipos de interés.

cuando la curvatura es hacia adentro, decimos que es cóncavo; cuando la curvatura es hacia afuera, decimos que es convexo.

Así, un plato de sopa, por ejemplo, cuando está dispuesto para servir, es cóncavo, tiene un hundimiento. Sin embargo, si lo volteamos, el plato será convexo. Por otro lado, en el caso de las las parábolas, estas son convexas si tienen forma de U, pero cóncavas si presentan una forma de U invertida.

Pero se tiene un caso especial. Cuando el valor de la segunda derivada de la función es evaluado en el punto crítico y es cero. En este punto, la derivada deja de crecer (o decrecer) y empieza a decrecer (o crecer). A este punto crítico lo llamaremos punto de inflexión.

Los puntos de inflexión son aquellos donde la función cambia de concavidad, es decir, de ser "cóncava hacia arribaj" a ser "cóncava hacia abajo", o viceversa. Se pueden encontrar al determinar dónde cambia de signo la segunda derivada.

Un polígono es estrictamente convexo si todos sus ángulos internos son estrictamente menores de 180 grados y todas sus diagonales son interiores. Todo polígono que no es convexo se denomina polígono cóncavo. Un decágono regular.

La optimización convexa trata el problema general de minimizar una función convexa, sobre un conjunto factible también convexo: minimizar f (x) s.a. x ∈ S, (1) donde f : D → R es convexa y S ⊂ D ⊂ Rn es convexo.

Sea K un conjunto convexo. Un punto x de K se dice que es un punto extremo si no existe ningún segmento de recta (no degenerado) en K que contenga a x en su interior relativo; o equivalentemente, si x no puede escribirse como x = (1 − λ)y + λz, con y, z ∈ K y 0 <λ< 1.

Parábola: corresponde a la gráfi- ca de una función cuadrática. Se dice que una parábola es cóncava (o también cóncava hacia arriba) si se abre hacia arriba y que es convexa (o también cón- cava hacia abajo) cuando se abre hacia abajo.

CONCAVIDAD DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA: Concavidad es la abertura que tiene la parábola. De acuerdo al valor que toma a, se dan los siguientes casos: - Si a > 0, entonces la parábola se abre hacia arriba (concavidad positiva). - Si a < o, entonces la parábola se abre hacia abajo (concavidad negativa).

3. Son convexas al origen. Esto es porque indican la cantidad que un consumidor está dispuesto a intercambiar por otro, y porque valora más un producto o servicio cuando es escaso. Y los bienes que se encuentran en la curva más alta son los preferidos para su consumo.

Un polígono es estrictamente convexo si todos sus ángulos internos son estrictamente menores de 180 grados y todas sus diagonales son interiores. Todo polígono que no es convexo se denomina polígono cóncavo. Un decágono regular. Todos los polígonos regulares y simples son polígonos convexos.

Diremos que una función es CÓNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva.

A diferencia de los espejos cóncavos, donde las características de la imagen dependen de la posición del objeto, en un espejo convexo la imagen que se forma es siempre virtual, ya que se genera por las prolongaciones de los rayos trazados, derecha y de menor tamaño que el objeto.

Si unimos todos los vértices del polígono, de forma consecutiva, dando una sola vuelta a la circunferencia, el polígono obtenido se denomina convexo. Si la unión de los vértices se realiza, de forma que el polígono cierra después de dar varias vueltas a la circunferencia, se denomina estrellado.

Una función es convexa si la gráfica de la función queda por encima de la recta tangente en cada punto. Una función es cóncava si la gráfica de la función queda por debajo de la recta tangente en cada punto.

Los espejos convexos sólo producen imágenes virtuales y derechas de un objeto que se encuentra frente a ellos. Las imágenes son disminuidas, o sea más pequeñas que el objeto, en tamaño.

La convexidad mide el grado de sensibilidad de la duración de un bono a los cambios en los tipos de interés. Un bono con convexidad positiva tiene una duración mayor a medida que su precio disminuye y, viceversa, un bono con convexidad negativa tiene una duración que cambia en línea con el precio del bono.

Explique por qué las preferencias convexas significan que “se prefieren las medias a los extremos”. Porque el consumidor prefiere débilmente la media ponderada de las dos cestas a cualquiera de las dos.