¿Cómo saber si una función cuadrática es creciente o decreciente?

Crecimiento y decrecimiento de la función. Una función f(x) se dice que es creciente en un intervalo a,b si para dos valores x1, x2 cualesquiera (x1<x2) del intervalo se cumple que f(x1)<f(x2). Si se cumple que f(x1)>f(x2) entonces se dice que es decreciente. Si, finalmente, f(x1)=f(x2) se llama constante.

Cuando a > 0 desde -∞ hasta la abscisa del vértice la parábola es estrictamente decreciente y desde la abscisa hasta +∞, la parábola es estrictamente creciente.

Diremos que una función es creciente cuando a medida que crece el valor de la variable independiente crece el valor de la función. Siempre trabajaremos con funciones derivables, por lo que para analizar en donde una función es creciente estudiaremos su derivada f´.

¿Cuál es la diferencia entre creciente y decreciente? Si el signo de la primera derivada de una función en un intervalo es positivo, la función crece en ese intervalo. Si el signo de la primera derivada en el intervalo es negativo, la función decrece.

Si la parábola tiene concavidad hacia arriba, el vértice corresponde a un mínimo de la función; mientras que si la parábola tiene concavidad hacia abajo, el vértice será un máximo.

Las funciones cuadráticas tienen las siguientes propiedades: - Dominio es el conjunto de los números reales. Si a es positivo, la parábola es cóncava, hacia arriba. Si a es negativo, la curva es cóncava hacia abajo. Cuanto mayor es "a" en valor absoluto, más cerrada es la curva.

La forma general de una función cuadrática es f ( x ) = ax ² + bx + c . La gráfica de una función cuadrática es una parábola , un tipo de curva de 2 dimensiones.

CONCAVIDAD HACIA ABAJO: La gráfica de una función se dice que es cóncava hacia abajo alrededor de un punto, si la gráfica queda por abajo de las rectas tangentes, alrededor de dicho punto. En este caso también se puede decir que la curva es convexa.

Crecimiento y decrecimiento

Cuando al aumentar el valor de x aumenta el valor de y=f(x), la gráfica "asciende" y se dice que la función es creciente. Si por el contrario al aumentar x disminuye y, la gráfica "desciende", y la función decrece.

Una función es estrictamente creciente si al aumentar los valores de la variable independiente (x) aumentan también los valores de la variable dependiente (y o f(x)). En un lenguaje sencillo podemos decir que una función es estrictamente creciente si al recorrer la gráfica de izquierda a derecha vamos ascendiendo.

Una función es creciente en un punto si su derivada en ese punto es positiva. Una función es decreciente en un punto si su derivada en ese punto es negativa.

El mínimo de una función cuadrática se produce en x=−b2a x = - b 2 a . Si a es positiva, el valor mínimo de la función es f(−b2a) f ( - b 2 a ) . Obtén el valor de x=−b2a x = - b 2 a . Sustituye los valores de a a y b b .

Vértice (vértice): el vértice de la parábola está ubicado sobre el eje de simetría y es el único punto de intersección de la parábola con el eje de simetría. A la coordenada x de este punto la llamaremos x_v y a la y, y_v.

El vértice también determina dónde se encuentra el eje de simetría de la ecuación (x). La fórmula para hallar el valor x del vértice de una ecuación cuadrática es x = -b/2a.

Un discriminante de cero indica que la cuadrática tiene una solución real repetida. Un discriminante negativo indica que ninguna de las soluciones son números reales.

Tipos de ecuaciones cuadráticas

Para valores negativos (a < 0), la parábola abre hacia abajo. También nota que cuando a = 0, la parábola ya no es una parábola, Se vuelve una línea recta, y la ecuación es ahora una ecuación lineal, y = bx + c.

La gráfica de una función cuadrática es una parábola, que es una curva con forma de "u": Un plano coordenado. La escala de los ejes X y Y aumenta en una unidad. La gráfica es la función x al cuadrado.

Una ecuación de segundo grado, llamada también cuadrática, es toda ecuación en la cual, una vez simplificada, el mayor exponente de la incógnita es 2.

Puntos de corte con los ejes

Como una ecuación cuadrática puede tener una, dos o ninguna solución, puede haber uno, dos o ningún punto de corte con el eje X.

El coeficiente c controla la altura de la parábola; más específicamente, es la altura de la parábola donde intercepta el eje y.

Una función continuamente diferenciable de una variable es convexa en un intervalo si y solo si la función se encuentra por encima de todas sus tangentes: f(y) ≥ f(x) + f '(x) (y − x) para todo x e y en el intervalo. En particular, si f '(c) = 0, luego c es un mínimo absoluto de f(x).

La concavidad se relaciona con la razón de cambio de la derivada de una función. Una función ‍ es cóncava hacia arriba en los intervalos donde su derivada, ‍ , es creciente. Esto es equivalente a que la derivada de ‍ , que es ‍ , sea positiva.

PROPIEDADES DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL

d) La función exponencial es siempre estrictamente creciente o decreciente, según el valor de a: Si 0 < a < 1 la función es estrictamente decreciente. S a > 1 la función es estrictamente creciente.

Geométricamente, cuanto mayor es la pendiente, más inclinada es la recta. Es decir, más rápido crece la función. Si la pendiente es positiva, la función es creciente. Si la pendiente es negativa, la función es decreciente.

Dada una función f : R → R decimos que f es creciente si f(x) ≤ f(y) para todo par de reales x ≤ y. Decimos que f : R → R es estrictamente creciente si f(x) < f(y) para todo par x, y ∈ R tal que x<y.

Si una función es creciente o decreciente decimos que es monótona. Si la función es estrictamente creciente o estrictamente decreciente, decimos que es estrictamente monótona.