¿Cuándo es cóncava una función cuadrática?

CONCAVIDAD DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA: Concavidad es la abertura que tiene la parábola. De acuerdo al valor que toma a, se dan los siguientes casos: - Si a > 0, entonces la parábola se abre hacia arriba (concavidad positiva). - Si a < o, entonces la parábola se abre hacia abajo (concavidad negativa).

CONCAVIDAD HACIA ARRIBA: La gráfica de una función se dice que es cóncava hacia arriba alrededor de un punto, si la gráfica queda por arriba de las rectas tangentes, alrededor de dicho punto.

Diremos que una función es CÓNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva.

POLÍGONOS CONVEXOS: son aquellos en los que todos sus ángulos interiores miden menos de 180o. Todos los polígonos regulares son convexos, y hay una infinidad de polígonos irregulares que también lo son. POLÍGONOS CÓNCAVOS: son aquellos en los que uno o más ángulos interiores miden más de 180o.

La concavidad se relaciona con la razón de cambio de la derivada de una función. Una función ‍ es cóncava hacia arriba en los intervalos donde su derivada, ‍ , es creciente. Esto es equivalente a que la derivada de ‍ , que es ‍ , sea positiva.

Al igual que con la forma de vértice, podemos determinar la concavidad en función del valor de a, el coeficiente del término. Si a es positivo, la parábola será cóncava hacia arriba. Si a es negativo, la parábola será cóncava hacia abajo .

Si f es una forma cuadrática en una variable, se puede escribir como f (x) = ax2. En este caso, f es convexa si a ≥ 0 y cóncava si a ≤ 0.

Una función es cóncava si la gráfica de la función queda por debajo de la recta tangente en cada punto. El criterio de la segunda derivada para determinar la concavidad o convexidad es: Si f es convexa entonces f '' < 0. Si f es cóncava entonces f '' > 0.

Si la derivada es positiva, el ángulo de la recta tangente con la horizontal estará entre 0º y 90º, y diremos que la función es Creciente. Por el contrario, será Decreciente, cuando la derivada sea negativa.

En geometría, la concavidad de una curva o de una superficie es la parte que se asemeja a la zona interior de una circunferencia o de una esfera,​ es decir, que tiene su parte hundida dirigida al observador. ​ Es el concepto complementario al de convexidad.

Así, un plato de sopa, por ejemplo, cuando está dispuesto para servir, es cóncavo, tiene un hundimiento. Sin embargo, si lo volteamos, el plato será convexo. Por otro lado, en el caso de las las parábolas, estas son convexas si tienen forma de U, pero cóncavas si presentan una forma de U invertida.

radianes. Un polígono es estrictamente convexo si todos sus ángulos internos son estrictamente menores de 180 grados y todas sus diagonales son interiores. Todo polígono que no es convexo se denomina polígono cóncavo.

En las pendientes cóncavas se va perdiendo inclinación a medida que avanzan mientras que en las convexas sucede al revés. De modo que en la pendiente convexa, a medida que se mueven los materiales adquieren energía y van más lejos mientras que en la cóncava la partícula va deteniéndose.

definida positiva si x'Qx > 0 para todo x distinto de cero, en cuyo caso sus valores propios son positivos y la forma cuadrática es una función fuertemente convexa . semidefinida negativa si x'Qx <= 0 para todo x, en cuyo caso sus valores propios no son positivos y la forma cuadrática es una función cóncava.

Se dice que una función es cóncava hacia arriba en un intervalo si f″(x) > 0 en cada punto del intervalo y cóncava hacia abajo en un intervalo si f″(x) < 0 en cada punto del intervalo.

La gráfica de una función cuadrática da la forma de una parábola. Si el valor del término “a” es positivo la parábola se abrirá hacia arriba, mientras que si el valor es negativo se abrirá hacia abajo .

Toda función cuadrática posee un máximo o un mínimo, que es el vértice de la parábola. Si la parábola tiene concavidad hacia arriba, el vértice corresponde a un mínimo de la función; mientras que si la parábola tiene concavidad hacia abajo, el vértice será un máximo.

Una parábola se dice cóncava hacia arriba si la curva se abre hacia arriba y cóncava hacia abajo si se abre hacia abajo. pasa el eje de simetría de la parábola. Este punto será máximo cuando la pará- bola es cóncava hacia abajo y mínimo cuando es cóncava hacia arriba.

Ecuaciones cuadráticas

El coeficiente a se llama cuadrático o principal, b es el coeficiente lineal y c el término independiente. Si todos los coeficientes de la ecuación son distintos de cero, se dice que es completa. Si el coeficiente lineal o el término constante son nulos, la ecuación es incompleta.

No todas las funciones cuadráticas son convexas . Por ejemplo, f(x)=−x2 no es convexo. Y no todas las funciones convexas son cuadráticas, como f(x)=ex.

El coeficiente c controla la altura de la parábola; más específicamente, es la altura de la parábola donde intercepta el eje y.

Las funciones convexas juegan un papel importante en muchas áreas de las matemáticas. Son especialmente importantes en el estudio de problemas de optimización donde se distinguen por una serie de propiedades convenientes . Por ejemplo, una función estrictamente convexa en un conjunto abierto no tiene más de un mínimo.

f es a la vez cóncava y convexa si y solo para cualquier a, b ∈ RN y cualquier θ ∈ (0,1) , f(θa + (1 − θ)b) = θf(a) + (1 − θ)f(b) . Una función f es afín si y sólo si hay una matriz A de 1 × N y un número y∗ ∈ R tal que para todo x ∈ C, f(x) = Ax + y∗. f es lineal si es afín con y∗ = 0.

Por ejemplo, podríamos considerar f(x)=1/x en x > 0 o f(x) = − √ x en x ≥ 0 . Ambas son funciones convexas, pero en rangos más pequeños. En estos casos, definimos f(x)=+∞ para valores de x donde f(x) de otro modo no estaría definido.

¿Cuál es la diferencia entre creciente y decreciente? Si el signo de la primera derivada de una función en un intervalo es positivo, la función crece en ese intervalo. Si el signo de la primera derivada en el intervalo es negativo, la función decrece.

Para demostrar algebraicamente que x2 aumenta para x>0 y decrece para x<0 podemos usar el hecho de que y2>x2 si y sólo si |y|>|x| . Para que la función sea creciente en un intervalo necesitamos |y|>|x| siempre que y>x para todos los xey en el intervalo.

En las parábolas, la tasa de aumento (la pendiente o tasa de cambio) no es consistente . Si la parábola se abre, aumentará a medida que avance hacia la derecha; si la parábola se abre hacia abajo, disminuirá.