¿Cuándo es un campo conservativo?

Decimos que una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza sobre un objeto que se mueve de un punto ‍ a otro punto ‍ siempre es igual, sin importar la trayectoria del objeto. En otras palabras, si esta integral es independiente de la trayectoria.

Si F es un campo vectorial continuo independiente de la trayectoria y el dominio D de F es abierto y conectado, entonces F es conservativo.

En particular, si se hace coincidir el punto inicial y el final, dado que el potencial tiene el mismo valor en los dos puntos, el trabajo realizado será nulo, de ahí el nombre de campo conservativo.

Cuando hay fuerzas no conservativas la energía mecánica del sistema se reaparte entre calor y energía mecánica final.La transferencia de energía de un punto A a un punto B no es absoluta, una parte importante de esa energía mecánica inicial se pierde en forma de calor.

Recıprocamente, se dice que un campo vectorial continuo F : A ⊆ Rn −→ Rn es un campo vectorial gradiente si existe un cierto campo escalar f : A −→ R de clase C1 tal que F = ∇f. En este caso se dice que f es una función o campo potencial para F. ∇f · ds = f(γ(b)) − f(γ(a)).

En física, un campo de fuerzas es conservativo si el trabajo total realizado por el campo sobre una partícula que realiza un desplazamiento en una trayectoria cerrada (como la órbita de un planeta) es nulo.

Las fuerzas gravitatorias, elásticas y electrostáticas son fuerzas conservativas. Las fuerzas bajo cuya acción en el sistema se disipa o pierde energía mecánica se denominan fuerzas no conservativas o fuerzas disipativas. Las fuerzas de rozamiento son fuerzas no conservativas.

Un fuerza es conservativa cuando el trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre los valores inicial y final de una función que solo depende de las coordenadas. A dicha función se le denomina energía potencial.

Un rotacional no nulo indica que en los alrededores del punto, las líneas de campo son arcos, o sea que es una región donde el campo se está curvando. La dirección del vector rotacional es perpendicular al plano de curvatura, y su intensidad indica el grado de curvatura que sufre el campo.

El concepto de campo eléctrico surge por sí mismo cuando las cargas se pueden mover una con respecto a otra.

Cuando hay fuerzas no conservativas, la energía mecánica tiende a disminuir. En el caso de la fricción, esto se debe a que la energía mecánica se convierte en energía térmica (haciendo que el sistema se caliente).

La conservación de energía mecánica solo es válida cuando todas las fuerzas son conservativas. Por suerte, hay muchas situaciones en las que podemos despreciar las fuerzas no conservativas, o que, al menos, aún podemos hacer una buena aproximación al despreciarlas.

Un campo vectorial se llama irrotacional cuando rotF = 0. Análogamente, se define la divergencia de F al campo escalar div F = ∇ · F. Si div F = 0, se dice que F es un campo vectorial incompresible.

El gradiente de una función f ‍ , que se denota como ∇ f ‍ , es la colección de todas las derivadas parciales en forma de vector.

Este teorema es muy útil para determinar cuándo un campo vectorial no es conservativo. Además, se puede probar que: Si ∇ × F = 0 y además P, Q, R son de clase C1 en todo R3, entonces F es conservativo.

Los campos escalares son funciones que dependen de dos o más variables cuyos valores son números reales. Los campos vectoriales son funciones que dependen de dos o más variables y cuyos valores son vectores; veamos algunos ejemplos simples.

Las fuerzas bajo cuya acción se conserva la energía mecánica del sistema se denominan fuerzas conservativas. Las fuerzas gravitatorias, elásticas y electrostáticas son fuerzas conservativas.

Los campos cuya divergencia es cero se denominan campos solenoidales, que se caracterizan porque sus líneas de campo son cerradas sobre si mismas, es decir, no tienen extremos donde nacen o mueren.

F l = - d U d l . Esta ecuación da la relación entre la fuerza y la energía potencial asociada. En palabras, el componente de una fuerza conservativa, en una dirección particular, es igual al negativo de la derivada de la energía potencial correspondiente, con respecto a un desplazamiento en esa dirección.

¿Qué es una fuerza no conservativa? Cuando el trabajo realizado por una fuerza depende de la trayectoria seguida, esta es una fuerza no conservativa. Una fuerza no conservativa es una fuerza por la que el trabajo efectuado depende de la trayectoria. La resistencia del aire es un ejemplo de fuerza no conservativa.

Una fuerza disipativa es cualquier sistema de fuerzas o campo de fuerzas, tales que un sistema sometido a esas fuerzas pierde energía mecánica.

Un fuerza es conservativa cuando el trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre los valores inicial y final de una función que solo depende de las coordenadas. A dicha función se le denomina energía potencial.

Si existe más de una carga, cada una produce un campo eléctricoy el campo eléctrico total en un punto dado será la suma vectorial del campo creado por cada carga. Cuando esta suma vale cero, el campo eléctrico vale cero y la fuerza sobre cualquier carga colocada en ese punto también vale cero.

La ley de la conservación de la energía establece que la energía no puede crearse ni destruirse, sólo convertirse de una forma de energía a otra. Esto significa que un sistema siempre tiene la misma cantidad de energía, a menos que se añada desde el exterior.

Una fuerza conservativa es aquella cuyo trabajo depende únicamente de las posiciones inicial y final de la partícula y no de la trayectoria que ésta ha descrito para ir desde la posición inicial a la final.

Dicho teorema se refiere a la ecuación de Poisson (o Laplace) y nos garantiza que si conocemos la laplaciana de una función (U o W en nuestro caso), la solución integral que hemos escrito nos garantiza que dicha solución es única.

El gradiente se aplica a campos escalares (no vectoriales) como la distribución de temperaturas en un cuerpo, y es siempre perpendicular a las líneas equipotenciales, como las isobaras o las isotermas. LA DIVERGENCIA se aplica exclusivamente a campos vectoriales.