¿Cuando no se puede derivar?

Resumiendo, tenemos la condición de derivabilidad: 'Una función es derivable en un punto si, y solo si, existen las derivadas laterales en ese punto y sus valores coinciden'. Además, así en general, uno puede ver que en los picos o puntos angulosos de las funciones, las funciones no son derivables.

Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontinuidad o un punto anguloso.

Si una función no tiene derivada en ese punto, significa que no tiene un crecimiento o decrecimiento bien definido, no se puede dar un número, un valor concreto, a esa variación del valor de la función en ese punto concreto.

Una función es derivable en un punto si se cumplen las siguientes dos condiciones: - Continuidad de la función en el punto. - Igualdad de las derivadas laterales en el punto. x=0 → Por lo tanto la función no es continua en x=0 y, en consecuencia, tampoco será derivable.

Cuando la derivada en un punto es cero la tangente a la función en dicho punto es horizontal. Pero la tangente puede ser horizontal por diferentes motivos, por lo que interpretar una derivada nula resulta un poco más complejo que cuando es positiva o negativa.

Una función es indiferenciable cuando en su gráfica hay una cúspide o un vértice . Por ejemplo, considere la función $ f(x) = |x| $, tiene una cúspide en $ x = 0 $, por lo tanto, no es diferenciable en $ x = 0 $.

Decimos que una función es derivable en un intervalo abierto (x₁,x₂) de su dominio si lo es en cada uno de sus puntos. En general el conjunto de puntos donde la función es derivable constituye su dominio de derivabilidad.

El concepto de derivada se aplica en los casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una situación. Por ello, es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología.

La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto.

Si f : D −→ R con D abierto, se dice que f es derivable si lo es en x, para todo x ∈ D. En ese caso se define la función derivada de f como f' : D −→ R tal que a cada x ∈ D le hacemos corresponder f'(x).

Una función f (x) continua en un punto x = a o un intervalo (a, b) puede ser o no derivable en dicho punto o intervalo. Por ejemplo, una función con un punto anguloso es continua en él, pero no puede derivarse en el mismo (existen derivadas por la derecha y por la izquierda, pero son diferentes).

Dados números reales α y β tales que α < β, se dice que una función continua f : α, β → R es diferenciable por partes si existen n ∈ N {0} y puntos x1, ..., xn en α, β tal que x0 = α<x1 < ··· < xn < β = xn+1 y para cualquier i ∈ {0,...,n}, la restricción de f sobre (xi,xi+ 1) es diferenciable en todas partes.

Para funciones definidas por partes, a menudo debemos tener mucho cuidado al calcular las derivadas. Las reglas de diferenciación (producto, cociente, reglas de la cadena) solo se pueden aplicar si la función está definida por UNA fórmula en una vecindad del punto donde evaluamos la derivada .

Los puntos críticos de la función: los puntos a donde se anula la derivada, f′(a) = 0. 2. En los puntos críticos (donde la derivada existe y vale cero), podemos calcular la segunda derivada f′′(a). Si f′′(a) > 0 entonces en a hay un mínimo relativo, y la función decrece a la izquierda y crece a la derecha de a.

Pero se tiene un caso especial. Cuando el valor de la segunda derivada de la función es evaluado en el punto crítico y es cero. En este punto, la derivada deja de crecer (o decrecer) y empieza a decrecer (o crecer). A este punto crítico lo llamaremos punto de inflexión.

Las derivadas se pueden utilizar para determinar si una función es creciente, decreciente o constante en un intervalo : f(x) aumenta si la derivada f/(x) > 0, f(x) es decreciente si la derivada f/(x) < 0 , f(x) es constante si derivada f/(x)=0 .

Muy rápidamente, la definición de derivada es un límite de la pendiente de una recta secante. Con una cúspide, el límite por la derecha no es igual al límite por la izquierda de la cúspide ; por lo tanto, la derivada no existe.

La función de líneas rectas no siempre es diferenciable . Tomemos el ejemplo de una línea vertical, cada punto tendrá una tangente vertical que indica una pendiente infinita y, por lo tanto, no es diferenciable.

De hecho, ex (incluidos sus múltiplos cex) es la única función que es su propia derivada . Entonces, si te dijeran que encontraras una función f(x) donde f′(x)=f(x), sabrías que la función debe ser f(x)=cex para algún número (desconocido) c.

De forma sucesiva se pueden obtener más funciones derivadas a partir de la primera, las cuales se van nombrando: segunda, tercera, cuarta, .. n-ésima derivada. ¿Cuántas veces podemos derivar una función? La respuesta es n-veces o hasta que se tenga como resultado 0.

Se dice que una función es continuamente diferenciable si su derivada también es una función continua ; existen funciones que son diferenciables pero no continuamente diferenciables (se da un ejemplo en la sección Clases de diferenciabilidad).

La derivada se puede utilizar para encontrar la ecuación de una recta tangente a una gráfica en un punto particular . La derivada también se puede utilizar para encontrar el valor máximo o mínimo de una función. En general, la derivada se puede utilizar para descubrir cómo cambia una función a medida que cambia su entrada.

A este límite se le conoce como la derivada de la función f en el número a y se representa con la notación f′(a), y corresponde a la definición de derivada de Newton.

Definiciones comunes de la derivada son: Razón de cambio, velocidad instantánea, pendiente de la recta tangente a una curva en cualquier punto. El diferencial es una pequeña porción de función diferenciable en cambio derivar es diferenciar toda la función.

Una derivada es simplemente un tipo específico de límite . La derivada es la pendiente de una función en algún punto de la función. El límite es su mejor estimación de dónde terminará la función cuando se acerque a un número particular.

h. – representa el cambio en x o (x2 – x1) o ∆x . f (x+h) – f (x) – representa (y2 – y1)