¿Cuándo ocurre que no existe la derivada de una función en un punto de su dominio?

La noción de derivada se asocia a la de límite. Por tanto, una derivada puede no existir por las mismas causas que un límite (ver t39). Cuando para una función en un punto existen derivadas por la derecha y por la izquierda y ambas coinciden, la función se denomina derivable en ese punto.

Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones prácticas son continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que es susceptible de derivación.

Si una función no tiene derivada en ese punto, significa que no tiene un crecimiento o decrecimiento bien definido, no se puede dar un número, un valor concreto, a esa variación del valor de la función en ese punto concreto.

Una función es derivable, si es derivable en todos los puntos de su dominio. Así, una función derivable, en primer lugar debe ser continua en todos los puntos de su dominio y tener una gráfica "suave", de tal manera que en todos sus puntos sea posible trazar una recta tangente.

El Teorema Fundamental del Cálculo nos dice que toda función continua es derivada de algo , pero hay muchas funciones que no son continuas ni derivadas. También hay algunas funciones que no son continuas, pero siguen siendo derivadas.

Entiendo que la derivada en un punto agudo de una función no existe porque las pendientes de los puntos alrededor de ellos no alcanzan el mismo valor .

Muy rápidamente, la definición de derivada es un límite de la pendiente de una recta secante. Con una cúspide, el límite por la derecha no es igual al límite por la izquierda de la cúspide ; por lo tanto, la derivada no existe.

Palabras primitivas: Son las que no proceden de otra palabra. Palabras derivadas: Son las que sí proceden de otra palabra. A partir de una palabra primitiva, que no procede de ninguna otra, podemos formar nuevas palabras que llamamos derivadas, añadiéndole unas partículas: por delante (prefijos)

Una expresión racional no está definida cuando el denominador es igual a cero. Para encontrar los valores que hacen que una expresión racional sea indefinida, iguala el denominador a cero y resuelve la ecuación resultante . Ejemplo: 0 7 2 3 xx − No está definido porque el cero está en el denominador.

Una función f (x) continua en un punto x = a o un intervalo (a, b) puede ser o no derivable en dicho punto o intervalo. Por ejemplo, una función con un punto anguloso es continua en él, pero no puede derivarse en el mismo (existen derivadas por la derecha y por la izquierda, pero son diferentes).

La función valor absoluto, f(x) = | x |, es conti- nua pero no es derivable en el origen: no coinciden los límites laterales en 0. −x x = −1. Por tanto, la función valor absoluto no es derivable en el origen.

Entonces un punto donde la función no es diferenciable es un punto donde este límite no existe , es decir, es infinito (caso de una tangente vertical), donde la función es discontinua, o donde hay dos límites unilaterales diferentes ( una cúspide, como para f(x)=|x| en 0).

La función derivada no siempre existe, pues puede suceder que en algún punto el límite no pueda ser calculado. Sin embargo existen unas condiciones que nos permiten asegurar la existencia de la función derivada. Cuando ello sucede se dice que la función f(x) es derivable.

La derivada es una herramienta versátil que acepta diversas interpretaciones; así como es posible determinar la pendiente de la tangente en un punto de una curva, también se pueden hallar los valores máximos y mínimos de una función y ubicar a través de ella las concavidades de una función.

Por ejemplo, la primera derivada nos dice dónde una función crece o decrece, y dónde tiene puntos máximos o mínimos; la segunda derivada nos dice dónde una función es cóncava hacia arriba o hacia abajo, y dónde tiene puntos de inflexión.

Si no se puede encontrar la derivada, o si no está definida, entonces la función no es diferenciable allí . Entonces, por ejemplo, si la función tiene una pendiente infinitamente pronunciada en un punto particular y, por lo tanto, una línea tangente vertical allí, entonces la derivada en ese punto no está definida.

Visualmente podemos ver un punto donde la derivada (pendiente de la curva) no existe (DNE) buscando "esquinas" o tangentes verticales o "huecos" en la gráfica de la función.

Pero se tiene un caso especial. Cuando el valor de la segunda derivada de la función es evaluado en el punto crítico y es cero. En este punto, la derivada deja de crecer (o decrecer) y empieza a decrecer (o crecer). A este punto crítico lo llamaremos punto de inflexión.

Las palabras parasintéticas son aquellas que están formadas por medio de la composición o bien de la derivación. Así, una palabra parasintética es una palabra que está formada por dos o más palabras básicas o primitivas (compuestas), o bien una palabra transformada que se vale del uso de prefijos y sufijos (derivada).

Las palabras derivadas son aquellas palabras que proceden de otras a las que llamamos palabras primitivas. Las palabras derivadas no son originales, es decir, que no han sido las primeras en crearse.

Los afijos son partículas que se unen a una palabra (o a la raíz de una palabra) y forman palabras derivadas, cambiando el sentido de la palabra a la que se unen. Por ejemplo: a-morfo (que no tiene forma), cine-filia (amor por el cine).

Límites indeterminados. . El resultado de estos límites no puede anticiparse y el mismo puede ser cero, ¥ , -¥ , un número finito diferente de cero, o bien puede no existir. Para resolverlos, se realizan procedimientos algebraicos adecuados que permitan salvar la indeterminación.

La función valor absoluto es una función continua en todo su dominio, con su función derivada discontinua esencial en (0;0), con dos ramas de valores constantes.

Indefinido​. Denota una variable que aún no ha sido definida. Una función (un método proyecto que devuelve un resultado) puede devolver un valor indefinido si, dentro del método, se asigna al resultado de la función ($0) una expresión indefinida (una expresión calculada con al menos una variable indefinida).

Un ejemplo de una función que es continua en todas partes pero que no es derivable exactamente en dos puntos es gx = x - 1 + x + 1 .

La derivada de una constante es igual a cero, pues dicho número no varía en función de ninguna variable.

Se dice que una función es continuamente diferenciable si su derivada también es una función continua ; existen funciones que son diferenciables pero no continuamente diferenciables (se da un ejemplo en la sección Clases de diferenciabilidad).