¿Cuando una función cuadrática es cóncava?

CONCAVIDAD DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA: Concavidad es la abertura que tiene la parábola. De acuerdo al valor que toma a, se dan los siguientes casos: - Si a > 0, entonces la parábola se abre hacia arriba (concavidad positiva). - Si a < o, entonces la parábola se abre hacia abajo (concavidad negativa).

CONCAVIDAD HACIA ABAJO: La gráfica de una función se dice que es cóncava hacia abajo alrededor de un punto, si la gráfica queda por abajo de las rectas tangentes, alrededor de dicho punto. En este caso también se puede decir que la curva es convexa.

Si a es positivo, la parábola es cóncava, hacia arriba. Si a es negativo, la curva es cóncava hacia abajo. Cuanto mayor es "a" en valor absoluto, más cerrada es la curva.

La concavidad se relaciona con la razón de cambio de la derivada de una función. Una función ‍ es cóncava hacia arriba en los intervalos donde su derivada, ‍ , es creciente. Esto es equivalente a que la derivada de ‍ , que es ‍ , sea positiva.

Una función es convexa en un intervalo de su dominio cuando: Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo y , el segmento que une los puntos y siempre queda por encima de la gráfica.

POLÍGONOS CONVEXOS: son aquellos en los que todos sus ángulos interiores miden menos de 180o. Todos los polígonos regulares son convexos, y hay una infinidad de polígonos irregulares que también lo son. POLÍGONOS CÓNCAVOS: son aquellos en los que uno o más ángulos interiores miden más de 180o.

f es convexa si f((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)f(x) + λf(y) para cualesquiera x, y ∈ I y λ ∈ 0, 1; y estrictamente convexa si la desigualdad es estricta con λ ∈ (0, 1) y x e y distintos. Se dice f cóncava si −f es convexa. Análogamente con estrictamente cóncava.

Toda función cuadrática posee un máximo o un mínimo, que es el vértice de la parábola. Si la parábola tiene concavidad hacia arriba, el vértice corresponde a un mínimo de la función; mientras que si la parábola tiene concavidad hacia abajo, el vértice será un máximo.

Para valores negativos (a < 0), la parábola abre hacia abajo. También nota que cuando a = 0, la parábola ya no es una parábola, Se vuelve una línea recta, y la ecuación es ahora una ecuación lineal, y = bx + c.

Un discriminante de cero indica que la cuadrática tiene una solución real repetida. Un discriminante negativo indica que ninguna de las soluciones son números reales.

La forma general de una función cuadrática es f ( x ) = ax ² + bx + c . La gráfica de una función cuadrática es una parábola , un tipo de curva de 2 dimensiones.

Ecuaciones cuadráticas

El coeficiente a se llama cuadrático o principal, b es el coeficiente lineal y c el término independiente. Si todos los coeficientes de la ecuación son distintos de cero, se dice que es completa.

Se basa en el concepto de concavidad o convexidad en un intervalo de una función, que se determina observando el signo de la segunda derivada evaluada en un punto crítico de la misma. Básicamente se utiliza para determinar extremos locales en el caso de que trabajar con la primera derivada sea complicado o laborioso.

La concavidad de una parábola indica hacia qué lado abre. Las parábolas no inclinadas pueden abrir hacia: la derecha, izquierda, arriba o abajo. en donde p es la distancia del vértice al foco. en donde p es la distancia del vértice al foco.

Definición 1 Una curva se dice que es convexa si la recta tangente en cada punto deja a la curva completamente a uno de los lados que determina dicha recta.

1. adj. Curvado hacia dentro, como el interior de un cuenco.

Las antenas satelitales tienen forma cóncava. El término "cóncavo" se le aplica a aquello que presenta una curvatura interna. Se emplea para describir formas con cavidades, como por ejemplo, la concavidad del cráneo, conjunto de huesos que protegen el cerebro.

La parte exterior de la mano adquiere forma de montañita y le puedes dar un beso, ¿verdad? Pues eso es convexo (con beso). Por el contrario, a la palma de la mano, que ahora queda en un hoyo, no la puedes besar. Pues eso es cóncavo.

Así, un plato de sopa, por ejemplo, cuando está dispuesto para servir, es cóncavo, tiene un hundimiento. Sin embargo, si lo volteamos, el plato será convexo. Por otro lado, en el caso de las las parábolas, estas son convexas si tienen forma de U, pero cóncavas si presentan una forma de U invertida.

El criterio de la segunda derivada para determinar la concavidad o convexidad es: Si f es convexa entonces f '' < 0. Si f es cóncava entonces f '' > 0. Un punto a es de inflexión si en dicho punto la función pasa de cóncava a convexa o viceversa.

3. Son convexas al origen. Esto es porque indican la cantidad que un consumidor está dispuesto a intercambiar por otro, y porque valora más un producto o servicio cuando es escaso. Y los bienes que se encuentran en la curva más alta son los preferidos para su consumo.

La optimización convexa trata el problema general de minimizar una función convexa, sobre un conjunto factible también convexo: minimizar f (x) s.a. x ∈ S, (1) donde f : D → R es convexa y S ⊂ D ⊂ Rn es convexo.

Una función f(x) se dice que es creciente en un intervalo a,b si para dos valores x1, x2 cualesquiera (x1<x2) del intervalo se cumple que f(x1)<f(x2). Si se cumple que f(x1)>f(x2) entonces se dice que es decreciente. Si, finalmente, f(x1)=f(x2) se llama constante.

Los máximos y mínimos de una función cuadrática corresponden siempre con el vértice de la parábola que representa esa función, entonces: Si a > 0, la parábola se abre hacia arriba. Por lo tanto, el vértice corresponde al punto mínimo de la función. Si a < 0, la parábola se abre hacia abajo.

Si es positivo, la parábola se abrirá hacia arriba. El vértice será un mínimo. Si es negativo, la parábola se abrirá hacia abajo. El vértice será un máximo.

CONCAVIDAD DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA: Concavidad es la abertura que tiene la parábola. De acuerdo al valor que toma a, se dan los siguientes casos: - Si a > 0, entonces la parábola se abre hacia arriba (concavidad positiva). - Si a < o, entonces la parábola se abre hacia abajo (concavidad negativa).

La gráfica de una función cuadrática es una parábola, que es una curva con forma de "u": Un plano coordenado. La escala de los ejes X y Y aumenta en una unidad. La gráfica es la función x al cuadrado.