¿Cuando una serie es divergente?

En el ámbito de la matemática se denomina serie divergente a una serie infinita que no es convergente, por lo tanto la secuencia infinita de las sumas parciales de la serie no tiene un límite. Si una serie converge, los términos individuales de la serie deben aproximarse a cero.

Si la sucesión de sumas parciales {S(n)} converge a un número S, diremos que la serie converge. Llamaremos a S suma de la serie, y escribiremos a(1)+a(2)+a(3)+... =S. Si {S(n)} diverge, diremos que la serie es divergente.

Una sucesión es divergente cuando no tiene límite. Es decir, cuando no existe ningún número finito al cual se aproxima.

Resumen. El pensamiento convergente se centra en encontrar una solución bien definida para un problema dado. El pensamiento divergente es lo opuesto al pensamiento convergente e implica más creatividad.

Por ejemplo la sucesión {xn} = {(−1)n n} es divergente, puesto que {|xn|} = {n}, pero {xn} no diverge positivamente, porque el conjunto {n ∈ N : xn ⩽ 0} es infinito, y tampoco diverge negativamente, porque {n ∈ N : xn ⩾ 0} también es infinito.

TEOREMA DE LEIBNIZ sobre convergencia de series alternadas. - La serie ( ) converge si la suceción es monótona decreciente cumpliéndose que . La condición de que la suceción sea decreciente establecida en el teorema anterior es una condición suficiente, no necesaria para la convergencia de la serie.

No todas las integrales impropias tienen un valor finito, pero algunas sí lo tienen. Cuando el límite existe decimos que la integral es convergente, y cuando no decimos que es divergente.

¿Por qué la serie 1^n es divergente? - Quora. ¿Por qué la serie 1^n es divergente? Porque a base de ir sumando términos podemos superar cualquier valor finito que queramos.

Si los términos decrecen y se acercan a cero en el límite. En tal caso, la serie converge. Si los términos de la serie se incrementan en magnitud. La suma de los términos también aumenta y la serie no tiene suma.

En el caso de que existan los límites y sean finitos, se dice que la integral impropia converge y tiene como valor dicho límite. En caso de que no existan o sean infinitos, se dice que diverge.

Una sucesión a(n) es convergente cuando tiene límite finito. El límite L de una sucesión a(n) es el número al que la sucesión se aproxima cada vez más. Se dice que la sucesión a(n) converge a su límite L y se expresa por O bien, por a(n)→L.

La siguiente definición es muy intuitiva. Se dice que una sucesión {xn} es: Creciente, cuando: xn ⩽ xn+1 para todo n ∈ N Decreciente, cuando: xn ⩾ xn+1 para todo n ∈ N Monótona, cuando es creciente o decreciente. Por ejemplo, una sucesión constante es a la vez creciente y decreciente.

J.P.Guilford, en los años 60, definió el pensamiento divergente como un método o proceso de pensamiento que el cerebro utiliza para generar ideas creativas al explorar todas las posibles soluciones de cómo enfrentar cada circunstancia o problema .

2.5.3 Sucesiones convergentes

Concentraremos nuestra atención en las sucesiones cuyos términos tienden a un límite. Tales sucesiones se llaman convergentes. Por ejemplo, las sucesiones de los ejemplos 2 y 3 convergen, respectivamente, a L=2 y a L=0.

Si no existe el límite de la sucesión a(n) ó es infinito, se dice que la sucesión no converge. Nosotros diremos que la sucesión es divergente, aunque algunos reservan este nombre únicamente para las sucesiones que tienden a infinito.

Existen dos tipos de sucesiones: la sucesión intestada y la sucesión testamentada.

∞∑n=1anSe dice que una serie converge absolutamente si la serie∞∑n=1|an| converge. Si∞∑n=1an converge pero∞∑n=1|an| diverge decimos que∞∑n=1an es condicionalmente convergente.

Una serie se dice alternada cuando sus términos son alternativamente positivos y negativos (o negativos y positivos).

La integral converge si el límite existe, o diverge si no. -ésima suma parcial de la serie. , si la sucesión no es acotada.

La regla de Barrow dice que la integral definida de una función continua f (x) en un intervalo cerrado a, b es igual a la diferencia entre los valores que toma una función primitiva F (x) de f (x), en los extremos de dicho intervalo.

Se denomina dominio de integración a la región sobre la cual se integra la función. Si la integral no tiene un dominio de integración, se considera indefinida (la que tiene dominio se considera definida).

Integrales que tengan simultáneamente las condiciones de las de primera y segunda especie, se les llama: integrales impropias de tercera especie. Esta última integral se dice divergente si por lo menos una de las inetgrales del segundo miembro diverge.

En geometría, las líneas divergentes son aquellas que salen de un mismo punto y, a medida que se extienden se van separando una de otra.

La serie es convergente si p > 1 y divergente en otro caso. Cuando p = 1, la serie es la serie armónica. Si p > 1, entonces la suma de la serie es ζ(p), es decir, la función zeta de Riemann evaluada en p. Esto se puede utilizar para comprobar la convergencia de series.

Las series ‍ tienen la forma general ∑ n = 1 ∞ 1 n p ‍ , donde ‍ es cualquier número real positivo. Son convergentes cuando ‍ y divergentes cuando 0 < p ≤ 1 ‍ .

El pensamiento convergente se centra en encontrar una solución bien definida para un problema dado. El pensamiento divergente es lo opuesto al pensamiento convergente e implica más creatividad.

Una serie geométrica infinita es la suma de una secuencia geométrica infinita. Esta serie no tendrá un último término.