¿Qué es el campo vectorial y cuál es su utilidad?

Un campo vectorial, es una función que asocia a cada punto del plano o del espacio un vector. Un ejemplo de campo vectorial sería la velocidad del viento en cada punto de la tierra. Dicha velocidad se expresa no solo con su valor, sino con la dirección en la que sopla el viento.

Los campos vectoriales se utilizan en física, para representar la velocidad y la dirección de un fluido en el espacio, o la intensidad y la dirección de fuerzas como la gravitatoria o la fuerza electromagnética.

En los campos vectoriales se definen las líneas de fuerza o líneas de campo, como las curvas tangentes en cada punto a los vectores definidos en ellos. Decimos que un campo vectorial es uniforme cuando tenemos el mismo valor del vector campo y la misma dirección y sentido en todos los puntos.

Un campo escalar corresponde a una magnitud física que requiere sólo de un número para su caracterización. Esto puede corresponder, por ejemplo, a la distribución de temperaturas dentro de un cuerpo, a las presiones dentro de un fluido, o a un potencial electrostático.

Una magnitud escalar es aquella que queda completamente determinada con un número y sus correspondientes unidades, y una magnitud vectorial es aquella que, además de un valor numérico y sus unidades (módulo) debemos especificar su dirección y sentido.

Hay dos tipos de campos vectoriales en ℝ 2 ℝ 2 en los que se centra este capítulo: campos radiales y campos rotacionales. Los campos radiales modelan ciertos campos gravitacionales y campos de fuentes de energía, y los campos rotacionales modelan el movimiento de un fluido en un vórtice.

Llamaremos función vectorial de variable real o simplemente función vectorial, a aquellas con dominio en un subconjunto de R y contradominio en un espacio vectorial Rn. De esta manera una función vectorial f asocia a cada elemento t de un conjunto A de números reales, un único vector f(t).

Magnitud vectorial: es la magnitud que queda totalmente determinada por un número, una unidad, una dirección y un sentido. Al número y a la unidad se los llama módulo.

Especialmente importantes en la física, los campos vectoriales conservativos son aquellos en los que integrar sobre dos trayectorias distintas que empiezan y terminan en los mismos dos puntos da el mismo resultado.

Recıprocamente, se dice que un campo vectorial continuo F : A ⊆ Rn −→ Rn es un campo vectorial gradiente si existe un cierto campo escalar f : A −→ R de clase C1 tal que F = ∇f. En este caso se dice que f es una función o campo potencial para F.

El producto escalar se usa en expresiones de energía potencial magnética y en el potencial de un dipolo eléctrico.

Definición (Campo escalar). - Un campo escalar es una función real que asocia a cada punto un número real. que asigna a cada punto un vector .

-Ambas se pueden medir por ser magnitudes. -Las dos poseen valor numérico. -Ambas poseen unidad de medida.

Son magnitudes escalares:

La masa (m) La longitud (L) El tiempo (t) La temperatura (T) La presión (p) El trabajo mecánico (W) La energía cinética (Ec) La energía potencial (Ep) El módulo de un vector Etc.

Vectores fijos o ligados: aplicados a un determinado punto. Vectores concurrentes o angulares: sus líneas de acción pasan por un mismo punto, formando un ángulo entre ellas. Vectores paralelos: las líneas del vector son paralelas. Vectores opuestos: aunque son de igual dirección y magnitud, tienen sentidos contrarios.

El teorema de Stokes dice que podemos calcular el flujo del rizo F a través de la superficie S conociendo solo la información sobre los valores de F a lo largo del borde de S.

Clases de vectores

Vectores opuestos: aunque son de igual dirección y magnitud, tienen sentidos contrarios. Vectores colineales: comparten una misma recta de acción. Vectores coplanarios: son los vectores cuyas rectas de acción están ubicadas en un mismo plano.

Magnitud vectorial: es la magnitud que queda totalmente determinada por un número, una unidad, una dirección y un sentido. Al número y a la unidad se los llama módulo. Por ejemplo el módulo de la velocidad del viento es de 3 Km/h.

Una función vectorial es una función que transforma un número real en un vector: Donde x(t), y(t) y z(t) son funciones llamadas funciones componentes de variable real del parámetro t. Así, se dice que F es continua, derivable o integrable, si lo son x(t), y(t) y z(t).

Algunos ejemplos de cantidades vectoriales son el desplazamiento, la velocidad, la posición, la fuerza y el torque. En el lenguaje matemático, las cantidades físicas vectoriales se representan mediante objetos matemáticos, denominados vectores (Figura 2.2).

Una magnitud escalar es aquella que queda completamente determinada con un número y sus correspondientes unidades, y una magnitud vectorial es aquella que, además de un valor numérico y sus unidades (módulo) debemos especificar su dirección y sentido.

Los vectores tienen ciertas características que nos permiten diferenciarlos entre sí, estas son: Módulo o magnitud, dirección y sentido, como se muestra en la siguiente imagen: Figura 2.

Un rotacional no nulo indica que en los alrededores del punto, las líneas de campo son arcos, o sea que es una región donde el campo se está curvando. La dirección del vector rotacional es perpendicular al plano de curvatura, y su intensidad indica el grado de curvatura que sufre el campo.

Los campos cuya divergencia es cero se denominan campos solenoidales, que se caracterizan porque sus líneas de campo son cerradas sobre si mismas, es decir, no tienen extremos donde nacen o mueren.

Decimos que una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza sobre un objeto que se mueve de un punto ‍ a otro punto ‍ siempre es igual, sin importar la trayectoria del objeto. En otras palabras, si esta integral es independiente de la trayectoria.

¿Cuándo se anula este campo vectorial? Siempre que la coordenada x del punto sea cero, o sea para todos los puntos de la forma (0, y, z), esto es, para los puntos del plano La siguiente figura es una representación gráfica de este campo.