¿Qué es el diferencial de un campo escalar?

Su diferencial en un punto se describe entonces como el producto escalar por un vector de RN, que será el vector gradiente. Sus coordenadas son las derivadas parciales de nuestra función, con respecto a cada una de las variables, en el punto considerado.

Campo escalar diferenciable (3D)

Como en el caso bidimensional, puede probarse que si f es de clase C1 en su dominio, entonces f es diferenciable en todos los puntos del dominio (lo que también vale para campos escalares que dependen de más variables). siendo ε(x,y,z) una función tal que lím(x,y,z)→(a,b,z)ε(x,y,z)=0.

En matemáticas y física, un campo escalar representa la distribución espacial de una magnitud escalar, asociando un valor a cada punto del espacio. En matemáticas, el valor es un número; en física, una magnitud física.

El gradiente es una función de valor vectorial, a diferencia de una derivada, que es una función de valor escalar. Al igual que la derivada, el gradiente representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función.

Los campos escalares son funciones que dependen de dos o más variables cuyos valores son números reales. Los campos vectoriales son funciones que dependen de dos o más variables y cuyos valores son vectores; veamos algunos ejemplos simples.

Geométricamente, una función es diferenciable cuando su gráfico se puede “aproximar” (en un sentido intuitivo) por una recta, que resulta ser la recta tangente. La derivada es la pendiente de esta recta.

Definición 2.2 (Campo de vectores diferenciable) Un campo de vectores X se dirá diferenciable si como aplicación X : M → TM entre la variedad y su fibrado es diferenciable. El conjunto de todos los campos de vectores diferenciables sobre M se denotará por X(M).

Un campo vectorial, es una función que asocia a cada punto del plano o del espacio un vector. Un ejemplo de campo vectorial sería la velocidad del viento en cada punto de la tierra. Dicha velocidad se expresa no solo con su valor, sino con la dirección en la que sopla el viento.

Hay dos tipos de campos vectoriales en ℝ 2 ℝ 2 en los que se centra este capítulo: campos radiales y campos rotacionales. Los campos radiales modelan ciertos campos gravitacionales y campos de fuentes de energía, y los campos rotacionales modelan el movimiento de un fluido en un vórtice.

Una manera de representar gráficamente un campo vectorial en el expacio es mediante un conjunto de flechas donde cada una corresponde al vector ìF(x, y, z), con su origen en el punto (x, y, z) del espacio; análogamente para un campo vectorial en el plano.

El gradiente de una función f ‍ , que se denota como ∇ f ‍ , es la colección de todas las derivadas parciales en forma de vector.

El gradiente se aplica a campos escalares (no vectoriales) como la distribución de temperaturas en un cuerpo, y es siempre perpendicular a las líneas equipotenciales, como las isobaras o las isotermas. LA DIVERGENCIA se aplica exclusivamente a campos vectoriales.

Recıprocamente, se dice que un campo vectorial continuo F : A ⊆ Rn −→ Rn es un campo vectorial gradiente si existe un cierto campo escalar f : A −→ R de clase C1 tal que F = ∇f. En este caso se dice que f es una función o campo potencial para F.

Decimos que una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza sobre un objeto que se mueve de un punto ‍ a otro punto ‍ siempre es igual, sin importar la trayectoria del objeto. En otras palabras, si esta integral es independiente de la trayectoria.

Los escalares y los vectores son dos tipos de cantidades que se usan en física y matemáticas. Los escalares son cantidades que solo tienen magnitud (o tamaño), mientras que los vectores tienen tanto magnitud como dirección.

El producto escalar de 2 vectores nos da información sobre el ángulo que forman entre ellos. El producto vectorial nos proporciona las coordenadas de un vector perpendicular a ambos vectores. Este vector perpendicular tiene el sentido que nos indica la ley del “tornillo”.

El proceso de calcular la derivada de una función se denomina diferenciación; esto es, la diferenciación es la operación mediante la cual se obtiene la función f ´a partir de la función f. Si una función tiene una derivada en x₁, se dice que la función es diferenciable en x₁.

De manera informal, si pensamos en la gráfica de una función de dos variables f(x,y) como una "sábana", diremos que f es diferenciable si la "sábana" no tiene puntos donde está "quebrada".

Funciones que tienen derivadas de todos los órdenes son llamadas infinitamente diferenciables, es decir que tiene derivadas parciales de cualquier orden. si sus derivadas parciales son continuas. Estas funciones se denominan continuamente diferenciables.

Si no existen las derivadas parciales de f en p, entonces f no es diferenciable en ese punto.

La derivada de una función compleja f ( z ) en z 0 ∈ ℂ es, si existe, el límite siguiente: f ' ( z 0 ) = lim z → z 0 f ( z ) - f ( z 0 ) z - z 0 . Cuando el límite existe se dice que f es derivable o diferenciable en z 0 .

adj. Perteneciente o relativo a la diferencia entre las cosas. Un estudio diferencial.

Los campos vectoriales se utilizan en física, para representar la velocidad y la dirección de un fluido en el espacio, o la intensidad y la dirección de fuerzas como la gravitatoria o la fuerza electromagnética.

Llamaremos función vectorial de variable real o simplemente función vectorial, a aquellas con dominio en un subconjunto de R y contradominio en un espacio vectorial Rn. De esta manera una función vectorial f asocia a cada elemento t de un conjunto A de números reales, un único vector f(t).

Los vectores son segmentos de una línea recta que están orientados dentro de un plano bidimensional o tridimensional, también conocido como un espacio vectorial.

El teorema de Stokes dice que podemos calcular el flujo del rizo F a través de la superficie S conociendo solo la información sobre los valores de F a lo largo del borde de S.

Un sistema de vectores es un conjunto cualquiera de vectores del mismo tipo. Por tanto, hay sistemas de vectores ligados, deslizantes y libres. Siempre hay que tener en cuenta que el uso de uno u otro tipo de vectores está en función de su utilidad para el problema en consideración.