¿Qué es la concavidad positiva?

Esta forma de la función, permite el desplazamiento hacia arriba o hacia abajo del punto donde la gráfica cambia de sentido: valor máximo cuando a<0, y mínimo cuando a es positivo; a esta característica se le llama “concavidad” negativa o positiva, respectivamente.

Una función ‍ es cóncava hacia arriba en los intervalos donde su derivada, ‍ , es creciente. Esto es equivalente a que la derivada de ‍ , que es ‍ , sea positiva. Del mismo modo, ‍ es cóncava hacia abajo en los intervalos donde su derivada, ‍ , es decreciente (o, de manera equivalente, donde ‍ es negativa).

CONCAVIDAD HACIA ABAJO: La gráfica de una función se dice que es cóncava hacia abajo alrededor de un punto, si la gráfica queda por abajo de las rectas tangentes, alrededor de dicho punto. En este caso también se puede decir que la curva es convexa.

Diremos que la gráfica de f es cóncava hacia arriba si f´ es creciente en ese intervalo y cóncava hacia abajo si f´ es decreciente en ese intervalo.

La diferencia entre cóncavo y convexo radica en nuestro punto de vista de la curvatura: cuando la curvatura es hacia adentro, decimos que es cóncavo; cuando la curvatura es hacia afuera, decimos que es convexo.

En geometría, la concavidad de una curva o de una superficie es la parte que se asemeja a la zona interior de una circunferencia o de una esfera,​ es decir, que tiene su parte hundida dirigida al observador. ​ Es el concepto complementario al de convexidad.

Pero se tiene un caso especial. Cuando el valor de la segunda derivada de la función es evaluado en el punto crítico y es cero. En este punto, la derivada deja de crecer (o decrecer) y empieza a decrecer (o crecer). A este punto crítico lo llamaremos punto de inflexión.

La concavidad de una parábola puede ser positiva o negativa

En la imagen se observan parábolas de concavidad positiva trazadas con líneas (que abren la figura hacia arriba) de color verde y azul. Mientras que se identifica una parábola de concavidad negativa con una línea (que abre la figura hacia abajo) de color rojo.

En matemática, una función convexa una función real es convexa en un intervalo (a,b), si la cuerda que une dos puntos cualesquiera en el grafo de la función queda por encima de la función.

Para determinar la concavidad de la gráfica de una función, debemos determinar los intervalos en los que f''(x)<0 (concavidad hacia abajo) y en los que f''(x)>0 (concavidad hacia arriba). Se sugiere el siguiente procedimiento: Determinar los valores en los que f''(x)=0 o f''(x) no está definida.

Una función es convexa si la gráfica de la función queda por encima de la recta tangente en cada punto. Una función es cóncava si la gráfica de la función queda por debajo de la recta tangente en cada punto.

Concavidad de una función

Como mencionamos previamente, si la segunda derivada de una función es menor que 0 en un intervalo del dominio (conjunto de valores que puede tomar x), entonces es cóncava en ese intervalo. Por ejemplo, una función puede ser cóncava entre 4,9 y convexa en el intervalo 10,16.

CONCAVIDAD HACIA ABAJO: La gráfica de una función se dice que es cóncava hacia abajo alrededor de un punto, si la gráfica queda por abajo de las rectas tangentes, alrededor de dicho punto. En este caso también se puede decir que la curva es convexa.

Si la derivada es positiva, el ángulo de la recta tangente con la horizontal estará entre 0º y 90º, y diremos que la función es Creciente. Por el contrario, será Decreciente, cuando la derivada sea negativa.

Diremos que una función es creciente cuando a medida que crece el valor de la variable independiente crece el valor de la función.

Por definición algo es cóncavo cuando la persona observante ve que ese objeto tiende a tener una profundidad. Por ejemplo cuando te asomas a ver si quedan cereales o frutos secos dentro de un cuenco. Por el contrario, algo es convexo cuando su tendencia es salir hacia afuera, en dirección al observante.

Según la forma geométrica de su superficie, podemos clasificar los espejos en dos tipos, planos y esféricos, y dentro de estos podemos distinguir los cóncavos, en los que la superficie pulimentada se encuentra en la cara interior de la superficie esférica, de los convexos, en los que se encuentra en la cara exterior.

Definición 1 Una curva se dice que es convexa si la recta tangente en cada punto deja a la curva completamente a uno de los lados que determina dicha recta.

Adjetivo. Se dice de la superficie, línea o curva que tiene su parte central sobresaliente, similar al exterior de una taza o de un círculo. Antónimo: cóncavo. Relacionados: abombado, biconvexo, convexidad.

En conclusión, si la segunda derivada de la función evaluada en un punto crítico es negativa, entonces el punto crítico corresponde a un máximo. De manera semejante, si la derivada de una función en un punto crítico es positiva, entonces el punto crítico es un mínimo de la función.

Si la derivada es positiva, la variación de la función es positiva, por tanto crece en el punto considerado. Por el contrario, si la derivada es negativa, la variación es negativa, por lo que la función decrece en el punto considerado.

La segunda derivada mide la tasa instantánea de cambio de la primera derivada. El signo de la segunda derivada nos indica si la pendiente de la línea tangente af es creciente o decreciente.

En las parábolas verticales, cuando el parámetro es positivo la parábola se abre hacia arriba. Cuando p es negativo, la parábola se abre hacia abajo. Igualmente, en las parábolas horizontales, cuando p es positivo, se abre hacia la derecha y cuando p es negativo, la parábola se abre a la izquierda.

CONCAVIDAD HACIA ARRIBA: La gráfica de una función se dice que es cóncava hacia arriba alrededor de un punto, si la gráfica queda por arriba de las rectas tangentes, alrededor de dicho punto.

Verás que con valores positivos de a (a > 0), la parábola abre hacia arriba. Para valores negativos (a < 0), la parábola abre hacia abajo. También nota que cuando a = 0, la parábola ya no es una parábola, Se vuelve una línea recta, y la ecuación es ahora una ecuación lineal, y = bx + c.

La monotonía de una función se refiere a su crecimiento o decrecimiento. si para toda x2>x1∈J se cumple que f(x2)>f(x1). Función Creciente. Gráficamente, la curva sube en el intervalo J (vista de izquierda a derecha, como lo indica el sentido positivo del eje x).