¿Qué es la concavidad y la convexidad?

Una función es convexa si la gráfica de la función queda por encima de la recta tangente en cada punto. Una función es cóncava si la gráfica de la función queda por debajo de la recta tangente en cada punto.

En geometría, la concavidad de una curva o de una superficie es la parte que se asemeja a la zona interior de una circunferencia o de una esfera,​ es decir, que tiene su parte hundida dirigida al observador.

CONCAVIDAD HACIA ABAJO: La gráfica de una función se dice que es cóncava hacia abajo alrededor de un punto, si la gráfica queda por abajo de las rectas tangentes, alrededor de dicho punto. En este caso también se puede decir que la curva es convexa.

Una función es cóncava en un intervalo de su dominio cuando: Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo y , el segmento que une los puntos y siempre queda por debajo de la gráfica.

Las nociones gemelas de concavidad y convexidad se utilizan ampliamente en la teoría económica y también son fundamentales para la teoría de la optimización. Una función de una sola variable es cóncava si cada segmento de recta que une dos puntos en su gráfica no se encuentra encima de la gráfica en ningún punto .

Si f''(x)>0 para toda x en (a,b), entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en (a,b). Si f''(x)<0 para toda x en (a,b) , entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajoen (a,b).

Al igual que con la forma de vértice, podemos determinar la concavidad en función del valor de a, el coeficiente del término. Si a es positivo, la parábola será cóncava hacia arriba. Si a es negativo, la parábola será cóncava hacia abajo .

Por definición algo es cóncavo cuando la persona observante ve que ese objeto tiende a tener una profundidad. Por ejemplo cuando te asomas a ver si quedan cereales o frutos secos dentro de un cuenco. Por el contrario, algo es convexo cuando su tendencia es salir hacia afuera, en dirección al observante.

Calcular la convexidad

Para aproximar el cambio en el precio del bono dado un cambio particular en el rendimiento, agregamos el ajuste de convexidad a nuestro cálculo de duración original. Convexity (C) is defined as: C=1P∂2P∂y2 . where P is the bond's price, and y its yield-to-maturity .

Definición 1 Una curva se dice que es convexa si la recta tangente en cada punto deja a la curva completamente a uno de los lados que determina dicha recta.

La segunda derivada de una función es la derivada de la derivada de la función. Decimos que una gráfica es cóncava hacia arriba si la primera derivada es creciente . Decimos que una gráfica es cóncava hacia abajo si la línea entre dos puntos cualesquiera está debajo de la gráfica. Si la segunda derivada es positiva estamos en un máximo local.

Si f(x) es cóncava hacia arriba en algún intervalo alrededor de x = c, entonces L(x) se subestima en este intervalo . 2. Si f(x) es cóncava hacia abajo en algún intervalo alrededor de x = c, entonces L(x) sobreestima en este intervalo. Recuerde que una forma sencilla de determinar la concavidad es evaluar la segunda derivada.

Nota: Como sabemos que las funciones lineales son una línea recta, por lo tanto, no hay ningún punto de concavidad en las gráficas de funciones lineales.

Observe que una función puede ser convexa y cóncava al mismo tiempo , una línea recta es convexa y cóncava. Una función no convexa no tiene por qué ser una función cóncava. Por ejemplo, la función f(x)=x(x−1)(x+1) definida en −1,1.

La segunda derivada nos da una forma matemática de saber cómo es curva la gráfica de una función . La segunda derivada nos dice si la función original es cóncava hacia arriba o hacia abajo.

En matemática, una función convexa una función real es convexa en un intervalo (a,b), si la cuerda que une dos puntos cualesquiera en el grafo de la función queda por encima de la función.

Una función ‍ es cóncava hacia arriba en los intervalos donde su derivada, ‍ , es creciente. Esto es equivalente a que la derivada de ‍ , que es ‍ , sea positiva. Del mismo modo, ‍ es cóncava hacia abajo en los intervalos donde su derivada, ‍ , es decreciente (o, de manera equivalente, donde ‍ es negativa).

Pero se tiene un caso especial. Cuando el valor de la segunda derivada de la función es evaluado en el punto crítico y es cero. En este punto, la derivada deja de crecer (o decrecer) y empieza a decrecer (o crecer). A este punto crítico lo llamaremos punto de inflexión.

Si el plano intersecta una de las piezas del cono y su eje pero esté no es perpendicular al eje, la intersección será una elipse. Para generar una hipérbola el plano intersecta ambas piezas del cono sin intersectar el eje.

Espejos y lentes cóncavos versus convexos

Un espejo cóncavo , que se curva hacia adentro, hará que tu reflejo parezca más alto. Un espejo convexo, que sobresale hacia afuera, te hará parecer más bajo. Este fenómeno ocurre porque la luz se refleja de manera diferente en las superficies cóncavas y convexas.

Los vasos pueden ser convexos o cóncavos . Las lentes cóncavas se utilizan para corregir la miopía. Las personas con miopía tienen problemas para ver claramente los objetos lejanos. Las lentes convexas se utilizan para corregir la hipermetropía.

Cóncavo describe formas que se curvan hacia adentro. La parte interior de un cuenco tiene forma cóncava .

Un bono con más convexidad le ofrecerá más ventajas si las tasas bajan, mientras que promete menos desventajas si las tasas aumentan .

esto es: 2a será positivo cuando a sea positivo y negativo si a es negativo, por tanto, si la derivada segunda 2a es positiva la parábola es cóncava y el punto será un mínimo de la función, si a es negativa la parábola será convexa y sea un máximo.

Los puntos de inflexión son aquellos donde la función cambia de concavidad, es decir, de ser "cóncava hacia arribaj" a ser "cóncava hacia abajo", o viceversa. Se pueden encontrar al determinar dónde cambia de signo la segunda derivada.

Toda curva tiene un lado convexo y un lado cóncavo. "Convexo" se refiere al exterior de la curva y "cóncavo" al interior. Si un médico describe su curva espinal como "levoconvexa", significa que el lado convexo de la curva está a la izquierda. En otras palabras, la columna se curva hacia la izquierda .

Se dice que una gráfica es cóncava hacia arriba en un punto si la recta tangente a la gráfica en ese punto se encuentra debajo de la gráfica en las proximidades del punto y cóncava hacia abajo en un punto si la recta tangente se encuentra por encima de la gráfica en las proximidades del punto. punto.