¿Qué es la FFT y DFT?

La transformada rápida de Fourier, conocida por la abreviatura FFT (del inglés Fast Fourier Transform) es un algoritmo eficiente que permite calcular la transformada de Fourier discreta (DFT) y su inversa.

Formalmente, hay una diferencia clara: "DFT" hace alusión a una transformación o función matemática, independientemente de cómo se calcule, mientras que "FFT" se refiere a una familia específica de algoritmos para calcular DFTs.

En Matemáticas, la trasnformada discreta de Fourier (DFT) convierte una lista finita de muestras igualmente espaciadas de una función en una lista de coeficientes de una combinación finita de sinusoides complejas, ordenado por sus frecuencias, que tienen los mismos valores de la muestra.

FFT transforma señales del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. FFT es la abreviatura de Fast Fourier Transform. Con el análisis FFT, se pueden determinar particularidades de una la señal en mucha mayor medida que cuando se inspeccionan los datos del dominio del tiempo.

En presencia de un error de redondeo, muchos algoritmos FFT son mucho más precisos que evaluar la definición DFT directa o indirectamente . Existen muchos algoritmos FFT diferentes basados ​​en una amplia gama de teorías publicadas, desde la simple aritmética de números complejos hasta la teoría de grupos y la teoría de números.

Una FFT es más rápida que una DFT en gran medida porque implica menos cálculos . Hay atajos disponibles en matemáticas si el número de muestras es 2^n. Hay algunas sutilezas; Algunos algoritmos FFT altamente optimizados (menos cálculos) no funcionan bien con las memorias caché de la CPU, por lo que son más lentos que otros algoritmos.

La FFT (Transformada Rápida de Fourier) es un cálculo que descompone una señal del dominio del tiempo en todas sus frecuencias. En un gráfico FFT es fácil identificar las frecuencias y amplitudes que conforman una señal. La FFT es la herramienta fundamental del análisis de vibraciones.

La transformada discreta de Fourier (DFT), implementada por uno de los algoritmos de transformada rápida de Fourier (FFT) computacionalmente eficientes, se ha convertido en el núcleo de muchos sistemas de procesamiento de señales digitales. Estos sistemas pueden realizar procesamiento general de señales en el dominio del tiempo y procesamiento clásico en el dominio de la frecuencia.

La salida del DFT (Xk) es una matriz de números complejos que contienen información sobre las frecuencias, amplitudes y fases de las sinusoides que construyen la señal de entrada . La primera mitad de la matriz DFT (Xk) contiene los términos de frecuencia positivos, mientras que la segunda mitad contiene los términos de frecuencia negativos.

Teniendo en cuenta estas frecuencias negativas, la DFT considera que el dominio de la frecuencia es periódico, con un período de 1,0 veces la frecuencia de muestreo, como -0,5 a 0,5 o 0 a 1,0. En términos de números de muestra, esto hace que la duración del período en el dominio de la frecuencia sea igual a N, lo mismo que en el dominio del tiempo.

Los algoritmos para este caso especial se denominan transformada rápida de Fourier (FFT). Las ventajas de FFT incluyen velocidad y eficiencia de memoria . La DFT puede procesar secuencias de cualquier tamaño de manera eficiente, pero es más lenta que la FFT y requiere más memoria porque guarda resultados intermedios durante el procesamiento.

La "Transformación rápida de Fourier", FFT para abreviar, es un importante método de medición en la tecnología de medición de audio y acústica. Descompone una señal en sus componentes espectrales individuales y así proporciona información sobre su composición.

El tamaño de FFT define la cantidad de contenedores utilizados para dividir la ventana en tiras iguales o contenedores . Por lo tanto, un contenedor es una muestra de espectro y define la resolución de frecuencia de la ventana. Por defecto: N (Contenedores) = Tamaño FFT/2.

La transformada rápida de Fourier (FFT) es un método computacionalmente eficiente para generar una transformada de Fourier. La principal ventaja de una FFT es la velocidad, que se obtiene al disminuir la cantidad de cálculos necesarios para analizar una forma de onda .

FFT se basa en el algoritmo de divide y vencerás en el que se divide la señal en dos señales más pequeñas, se calcula la DFT de las dos señales más pequeñas y se unen para obtener la DFT de la señal más grande. El orden de complejidad de DFT es O (n ^ 2), mientras que el de FFT es O (n. logn) , por lo tanto, FFT es más rápido que DFT.

Para un conjunto de muestra de 1024 valores, la FFT es 102,4 veces más rápida que la transformada discreta de Fourier (DFT). La base de esta notable ventaja en velocidad es el esquema de "inversión de bits" del algoritmo Cooley-Tukey. Eliminar la carga de la "degeneración" por este medio se entiende fácilmente utilizando gráficos vectoriales.

Convierte una señal en componentes espectrales individuales y, por lo tanto, proporciona información de frecuencia sobre la señal. Las FFT se utilizan para análisis de fallas, control de calidad y monitoreo del estado de máquinas o sistemas .

La frecuencia se traza a lo largo del eje x y la amplitud se traza a lo largo del eje y . Las FFT a menudo parecen una serie de picos de montañas. La ubicación horizontal de los picos indica qué frecuencias están fuertemente presentes en el sonido. Los valles muestran qué frecuencias están ausentes.

En el contexto del control de vibraciones, 1 x rpm significa una frecuencia de vibración que es igual a la velocidad de rotación (una oscilación de vibración por revolución del rotor), 2 x rpm significa una frecuencia de 2 x rpm (dos oscilaciones por revolución), etc.

Ejemplo: un banco nos ofrece préstamos a la tasa DTF que equivale al 4.15% EA (efectivo anual), más 6 puntos porcentuales anual TA (trimestre anticipado). En este caso la tasa DTF representa la tasa variable base y el 6% anual TA representa el Spread fijo.

el espectro DFT es periódico con período N (lo cual es de esperar, ya que el espectro DTFT también es periódico, pero con período 2π). Ejemplo: DFT de un pulso rectangular: x(n) = { 1, 0 ≤ n ≤ (N − 1), 0, en caso contrario.

DTFT es continuo porque la señal original en el dominio del tiempo que usted muestreó tiene una transformación que se comporta bien, lo que significa que no implica impulsos en el dominio transformado (dominio de Fourier) . Porque DTFT es solo una versión repetida del FT real en cada intervalo.

En el procesamiento de señales digitales, el término serie discreta de Fourier (DFS) es cualquier señal periódica de tiempo discreto que comprende sinusoides reales discretas armónicamente relacionadas (es decir, Fourier) o exponenciales complejos discretos, combinados por una suma ponderada.

La transformada rápida de Fourier (FFT):

Este procedimiento se llama algoritmo FFT. Por ejemplo, cuando N = 512, la complejidad computacional DFT directa es proporcional a N2 = 262144, mientras que la complejidad computacional FFT es proporcional a Nlog2N = 2048. Esto significa que FFT es 32 veces más rápida que DFT. 262144/2048 = 32.

Fué un siglo y medio después, en 1965, cuando dos científicos Norteamericanos, J.W. Cooley y J.W. Tukey2, redescubrieron el algoritmo más eficiente hasta entonces conocido para realizar dicho cálculo, al cual le dieron el nombre de transformada de Fourier rápida.

Lo que logramos: James Cooley (en la foto) inventó conjuntamente con John Tukey (y posiblemente repitió a Gauss en el siglo XIX) la Transformada Rápida de Fourier (FFT) para convertir señales en el dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. Shmuel Winograd inventó otra alternativa rápida.

La transformada de Fourier surgió al intentar extender el análisis en frecuencias en el dominio del tiempo. Fue denominada ası por Jean-Baptiste Joseph Fourier y es una transformación matemática utilizada para transformar las se˜nales entre el dominio del tiempo (espacial) y el de la frecuencia.