¿Qué es la inversa de la matriz?

Una matriz es inversa de otra cuando al multiplicar ambas (en cualquier orden) se obtiene la matriz identidad.

Una matriz tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de 0. Si una matriz tiene inversa, se dice que es inversible o regular. En caso contrario, se dice que es irregular o singular.

La principal utilidad de la matriz inversa es resolver ecuaciones matriciales.

Las matrices que no son cuadradas no tienen inversa. Las matrices cuadradas cuyo determinante es 0 no tienen inversa. Sólo las matrices cuadradas cuyo determinante es distinto de 0 tienen inversa.

En matemáticas, una matriz involutiva es una matriz cuadrada (tiene igual número de filas que de columnas) que es su propia inversa. Es decir, la multiplicación por la matriz A es una involución si y sólo si A² = I.

El método de Gauss consiste en usar operaciones elementales en las ecuaciones para transformar el sistema de ecuaciones lineales n × n en un sistema reducido de forma triangular. Según el número de soluciones que tiene el sistema, se puede clasificar en: Sistema compatible determinado: tiene una solución única.

Definición. El determinante de una matriz cuadrada —matriz con el mismo número de filas que de columnas— se obtiene de restar la multiplicación de los elementos de la diagonal principal de la matriz y la multiplicación de los elementos de la diagonal secundaria de la misma matriz.

El rango de una matriz es el mayor de los órdenes de los menores no nulos que podemos encontrar en la matriz. Por tanto, el rango no puede ser mayor al número de filas o de columnas. También se define el rango de una matriz como el número máximo de filas (o columnas) linealmente inde- pendientes.

Matriz identidad

La traza de A, escrito tr A, es la suma de los elementos diagonales. La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A, A· I = I ·A = A.

La dimensión de una matriz viene definido por el número de filas y de columnas y se denota como mxn. En el caso que el número de filas sea igual al de columnas, la matriz se denomina matriz cuadrada (m=n), entonces la matriz se dice que es de orden n.

Y = inv( X ) calcula la inversa de la matriz cuadrada X .

Las matrices son un conjunto bidimensional de números o símbolos distribuidos de forma rectangular, en líneas verticales y horizontales, de manera que sus elementos se organizan en filas y columnas. Sirven para describir sistemas de ecuaciones lineales o diferenciales, así como para representar una aplicación lineal.

Para poder multiplicar dos matrices, la primera debe tener el mismo número de columnas que filas la segunda. La matriz resultante del producto quedará con el mismo número de filas de la primera y con el mismo número de columnas de la segunda.

Una matriz inversa es la transformación lineal de una matriz mediante la multiplicación del inverso del determinante de la matriz por la matriz adjunta traspuesta. En otras palabras, una matriz inversa es la multiplicación del inverso del determinante por la matriz adjunta traspuesta.

Los métodos de Gauss y Gauss-Jordan, que se basan en el pivoteo, pueden enfrentarse a ciertas dificultades cuando dos ecuaciones (dos renglones de la matriz ampliada) son muy parecidos o, en el peor de los casos, idénticos.

Sirve para resolver cualquier sistema de ecuaciones lineales. Consiste en transformar un sistema en otro sistema escalonado, y resolver éste último.

La ley de Gauss es muy útil para determinar el campo eléctrico en situaciones de alta simetría. El campo eléctrico tiene simetría esférica alrededor de la distribución uniforme de carga. Consideremos una superficie esférica alrededor de la carga y centrada en ella.

Si un determinante vale 0, alguna fila es combinación lineal de las otras o, lo que es lo mismo, las filas son linealmente dependientes. Si a una fila se le suma una combinación lineal de las otras, el determinante no varía.

Aunque los determinantes representan factores de escala, no siempre son números positivos. El signo del determinante tiene que ver con la orientación de ‍ y ‍ . Si una matriz invierte la orientación, entonces su determinante es negativo.

Los Determinantes son palabras que acompañan al sustantivo para concretarlo, determinarlo y aportar información sobre el mismo, (género, número, situación en el espacio o posesión), es decir, son actualizadores del sustantivo.

Decimos que el rango de una matriz es el número si existe en ella un menor de orden de orden no nulo, pero no hay ningún menor de orden superior a distinto de cero; bien porque no existen bien porque todos son nulos. Se conviene en que el rango de una matriz nula es 0.

Como es una matriz de 3x3, el rango máximo que puede alcanzar esta matriz es de 3 (3 filas ó 3 columnas linealmente independientes). Calculando el determinante de la matriz se tiene que es distinto de cero, en concreto es igual a -10, lo que indica que esas tres columnas (o filas) son linealmente independientes.

Definición: matriz singular. Matriz cuadrada cuyo determinante es igual a cero. Una matriz singular no tiene matriz inversa.

Tal como cualquier número multiplicado por 1 no cambia, también cualquier matriz multiplicada por la identidad permanece sin cambio.

13 - Operaciones básicas con matrices

Una matriz antisimétrica es una matriz cuadrada A cuya traspuesta es igual a su opuesta, es decir vale la relación A^T = -A.