¿Qué es un campo vectorial diferenciable?

Definición 2.2 (Campo de vectores diferenciable) Un campo de vectores X se dirá diferenciable si como aplicación X : M → TM entre la variedad y su fibrado es diferenciable. El conjunto de todos los campos de vectores diferenciables sobre M se denotará por X(M).

Especialmente importantes en la física, los campos vectoriales conservativos son aquellos en los que integrar sobre dos trayectorias distintas que empiezan y terminan en los mismos dos puntos da el mismo resultado.

Los campos escalares son funciones que dependen de dos o más variables cuyos valores son números reales. Los campos vectoriales son funciones que dependen de dos o más variables y cuyos valores son vectores; veamos algunos ejemplos simples.

Un campo vectorial, es una función que asocia a cada punto del plano o del espacio un vector. Un ejemplo de campo vectorial sería la velocidad del viento en cada punto de la tierra. Dicha velocidad se expresa no solo con su valor, sino con la dirección en la que sopla el viento.

Un operador diferencial vectorial es un operador lineal que actúa sobre campos vectoriales definidos sobre una variedad diferenciable.

Cuando hay fuerzas no conservativas la energía mecánica del sistema se reaparte entre calor y energía mecánica final.La transferencia de energía de un punto A a un punto B no es absoluta, una parte importante de esa energía mecánica inicial se pierde en forma de calor.

Recıprocamente, se dice que un campo vectorial continuo F : A ⊆ Rn −→ Rn es un campo vectorial gradiente si existe un cierto campo escalar f : A −→ R de clase C1 tal que F = ∇f. En este caso se dice que f es una función o campo potencial para F.

Hay dos tipos de campos vectoriales en ℝ 2 ℝ 2 en los que se centra este capítulo: campos radiales y campos rotacionales. Los campos radiales modelan ciertos campos gravitacionales y campos de fuentes de energía, y los campos rotacionales modelan el movimiento de un fluido en un vórtice.

Decimos que un campo vectorial es uniforme cuando tenemos el mismo valor del vector campo y la misma dirección y sentido en todos los puntos.

Una manera de representar gráficamente un campo vectorial en el expacio es mediante un conjunto de flechas donde cada una corresponde al vector ìF(x, y, z), con su origen en el punto (x, y, z) del espacio; análogamente para un campo vectorial en el plano.

Este teorema es muy útil para determinar cuándo un campo vectorial no es conservativo. Además, se puede probar que: Si ∇ × F = 0 y además P, Q, R son de clase C1 en todo R3, entonces F es conservativo.

En matemáticas y física, un campo escalar representa la distribución espacial de una magnitud escalar, asociando un valor a cada punto del espacio. En matemáticas, el valor es un número; en física, una magnitud física.

Llamaremos función vectorial de variable real o simplemente función vectorial, a aquellas con dominio en un subconjunto de R y contradominio en un espacio vectorial Rn. De esta manera una función vectorial f asocia a cada elemento t de un conjunto A de números reales, un único vector f(t).

Los científicos se dieron cuenta de que muchos problemas se podían manejar considerando la parte vectorial por separado y así comenzó el Análisis Vectorial. Este trabajo se debe principalmente al físico estadounidense Josiah Willard Gibbs (1839-1903) y al físico matemático inglés Oliver Heaviside​ (1850-1925).

Son innumerables sus aplicaciones no sólo en física y en la geometría, sino también en la química, la biología, la ingeniería, la economía, etc.

En este curso aprenderemos los siguientes temas,

Un rotacional no nulo indica que en los alrededores del punto, las líneas de campo son arcos, o sea que es una región donde el campo se está curvando. La dirección del vector rotacional es perpendicular al plano de curvatura, y su intensidad indica el grado de curvatura que sufre el campo.

En física, un campo de fuerzas es conservativo si el trabajo total realizado por el campo sobre una partícula que realiza un desplazamiento en una trayectoria cerrada (como la órbita de un planeta) es nulo.

En particular, si se hace coincidir el punto inicial y el final, dado que el potencial tiene el mismo valor en los dos puntos, el trabajo realizado será nulo, de ahí el nombre de campo conservativo.

El operador nabla

Los operadores diferenciales son operadores que extienden la idea de una derivada a un contexto diferente. El símbolo ‍ se conoce como "nabla" o "del".

Campo escalar diferenciable (3D)

Como en el caso bidimensional, puede probarse que si f es de clase C1 en su dominio, entonces f es diferenciable en todos los puntos del dominio (lo que también vale para campos escalares que dependen de más variables). siendo ε(x,y,z) una función tal que lím(x,y,z)→(a,b,z)ε(x,y,z)=0.

Los campos cuya divergencia es cero se denominan campos solenoidales, que se caracterizan porque sus líneas de campo son cerradas sobre si mismas, es decir, no tienen extremos donde nacen o mueren.

Vectores fijos o ligados: aplicados a un determinado punto. Vectores concurrentes o angulares: sus líneas de acción pasan por un mismo punto, formando un ángulo entre ellas. Vectores paralelos: las líneas del vector son paralelas. Vectores opuestos: aunque son de igual dirección y magnitud, tienen sentidos contrarios.

El teorema de Stokes dice que podemos calcular el flujo del rizo F a través de la superficie S conociendo solo la información sobre los valores de F a lo largo del borde de S.

Un sistema de vectores es un conjunto cualquiera de vectores del mismo tipo. Por tanto, hay sistemas de vectores ligados, deslizantes y libres. Siempre hay que tener en cuenta que el uso de uno u otro tipo de vectores está en función de su utilidad para el problema en consideración.

El campo vectorial F es un campo cuadrático inverso si k F (x, y, z) = ‖r . ‖ u donde k es un número real y u = r /llrll es un vector unitario en la dirección de r.

En matemáticas, se define la estructura de espacio vectorial y a cada uno de los elementos o puntos de ese espacio se les denomina vector.