¿Qué es un vector ortogonal?

Esto quiere decir que si tenemos dos vectores y realizamos el producto escalar entre ellos y el resultado del producto escalar es 0, significa que los vectores son perpendiculares. En matemáticas, en vez de decir que los vectores son perpendiculares, se dice que los vectores son ortogonales.

En matemáticas, el término ortogonalidad (del griego ὀρθός 'recto' y γωνία 'ángulo') es una generalización de la noción geométrica de perpendicularidad. En el espacio euclídeo convencional, el término ortogonal y el término perpendicular son sinónimos.

Un vector es paralelo a otro cuando sus coordenadas son proporcionales. El vector v tiene la misma dirección que u, pero tiene sentido opuesto y es el doble de largo. Un vector paralelo a otro indica la misma dirección. Aunque puede tener distinto sentido y distinto módulo.

Ortogonal y perpendicular

Entonces, podemos determinar si dos vectores son ortogonales mediante la representación en el plano o calculando el producto escalar. Si el resultado del producto escalar es igual a cero, entonces los vectores son ortogonales.

Uno de los métodos para sumar vectores emplea las proyecciones de un vector a lo largo de los ejes de un sistema de coordenadas rectangulares. Estas proyecciones se llaman componentes ortogonales. Cualquier vector o, en nuestro caso, cualquier fuerza se puede describir por completo mediante sus componentes.

Un conjunto de vectores es ortonormal si es un conjunto ortogonal y la norma (o módulo) de cada uno de sus vectores es igual a 1.

En el plano, la proyección ortogonal es aquella cuyas líneas proyectantes auxiliares son perpendiculares a la recta de proyección L.

Cuando el producto escalar de dos vectores es 0 los vectores forman entre sí un ángulo recto (90º). Si el producto escalar de 2 vectores es cero los vectores son perpendiculares.

Vectores libres: son los que tienen un mismo sentido, dirección y módulo, por lo que su punto de aplicación es libre o no está definido.

Dos vectores u, v son ortogonales si y sólo si u+v2 = u2 +v2.

Una norma para vectores o matrices, es una medida de la "magnitud" o " tamaño" de éstos. Las primeras nociones de magnitud con las que nos encontramos son el valor absoluto para números reales y la longitud euclidiana de vectores en R2 y R3, basada esta última en el teorema de Pitágoras.

Para sumar los vectores (x₁,y₁) y (x₂,y₂), sumamos los componentes correspondientes de cada vector: (x₁+x₂,y₁+y₂). He aquí un ejemplo concreto: la suma de (2,4) y (1,5) es (2+1,4+5), que es (3,9).

El producto vectorial de 2 vectores A y B, se define como un vector C=A×B cuyo módulo es igual al área del paralelogramo formado por los dos vectores.

Si representamos el vector gráficamente podemos diferenciar los siguientes elementos: La recta soporte o dirección, sobre la que se traza el vector. El módulo o amplitud con una longitud proporcional al valor del vector. El sentido, indicado por la punta de flecha, siendo uno de los dos posibles sobre la recta soporte.

Dos vectores son ortonormales si: 1 Su producto escalar es cero. 2 Los dos vectores son unitarios.

¿Qué es una combinación lineal? Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por escalares. Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección. Esta combinación lineal es única.

Decimos que B = { u → , v → } es una base ortogonal si los vectores que la forman son perpendiculares entre si. Es decir, y forman un ángulo de . Decimos que B = { u → , v → } es una base ortonormal si los vectores que la forman son perpendiculares entre si y tienen módulo .

La ortonormalidad es una propiedad más estricta, que incluye a la ortogonalidad. Dos vectores ortogonales son ortonormales si tienen módulo unitario. Decir que dos vectores son ortogonales y decir que son perpendiculares es una y la misma cosa.

4.1 Subespacios ortogonales. Definición 4.1 Dos subespacios euclıdeos S1 y S2 de un espacio vectorial euclıdeo U se dicen ortogonales cuando todos los vectores de uno de ellos son ortogonales a todos los del otro: ¯x · ¯y = 0 para cualesquiera ¯x ∈ S1, ¯y ∈ S2.

Las tres proyecciones ortogonales principales: frontal, superior y lateral (alzado, planta y perfil).

La vista frontal se proyecta hacia el plano frontal. La vista superior se proyecta hacia el plano horizontal. La vista lateral se proyecta hacia el plano de perfil.

La proyección ortogonal de un punto sobre un plano es el punto de intersección entre el plano y la recta perpendicular al plano que pasa por el punto . La proyección ortogonal de un punto sobre una recta es el punto de intersección entre la recta y el plano perpendicular a la recta que pasa por el punto .

Dos vectores son paralelos o llevan la misma dirección si el ángulo que forman es de 0 radianes (0 grados) o de π radianes (180 grados). Cuando dos vectores forman un ángulo cero, el valor del coseno es la unidad, por lo tanto el producto de los módulos vale lo mismo que el producto escalar.

¿Cuándo es cero el producto escalar? Cuando ambos vectores son perpendiculares (o alguno de ellos es cero). Para dos vectores cualesquiera, el valor de su producto escalar es máximo (positivo o negativo) cuando ambos vectores son paralelos (o antiparalelos) y es mínimo (cero) cuando ambos son perpendiculares.

El producto vectorial de Gibbs o producto cruz es una operación binaria entre dos vectores en un espacio tridimensional. El resultado es un vector perpendicular a los vectores que se multiplican, y por lo tanto normal al plano que los contiene. Estas propiedades se prueban mediante las propiedades de los determinantes.

Un vector unitario es aquél que tiene módulo 1. Para hallar un vector unitario a partir de cualquier vector, hay que dividir este último por su módulo.

Representación vectorial

Un vector en un plano se representa mediante un segmento rectilíneo dirigido (una flecha). Los puntos finales del segmento se denominan punto inicial y punto terminal del vector. Una flecha desde el punto inicial hasta el punto terminal indica la dirección del vector.