¿Qué tipos de campo vectorial existen?

Hay dos tipos de campos vectoriales en ℝ 2 ℝ 2 en los que se centra este capítulo: campos radiales y campos rotacionales. Los campos radiales modelan ciertos campos gravitacionales y campos de fuentes de energía, y los campos rotacionales modelan el movimiento de un fluido en un vórtice.

Un campo vectorial, es una función que asocia a cada punto del plano o del espacio un vector. Un ejemplo de campo vectorial sería la velocidad del viento en cada punto de la tierra. Dicha velocidad se expresa no solo con su valor, sino con la dirección en la que sopla el viento.

Los campos vectoriales se utilizan en física, para representar la velocidad y la dirección de un fluido en el espacio, o la intensidad y la dirección de fuerzas como la gravitatoria o la fuerza electromagnética.

Un campo vectorial asocia un vector a cada punto en el espacio. Los campos vectoriales y el movimiento de fluidos van de la mano. Puedes pensar acerca de un campo vectorial como que representa una función multivariable cuyos espacios de entrada y de salida tienen la misma dimensión.

Los tipos más comunes de archivos vectoriales son AI (Adobe Illustrator), EPS (Encapsulated PostScript), PDF (Portable Document Format) y SVG (Scalable Vector Graphics).

Una magnitud escalar es aquella que queda completamente determinada con un número y sus correspondientes unidades, y una magnitud vectorial es aquella que, además de un valor numérico y sus unidades (módulo) debemos especificar su dirección y sentido.

Definición. Un campo vectorial F : D → R3 se llama campo vectorial C1 cuando, para cada uno. i = 1, 2, 3, las derivadas parciales. ∂Fi(x, y, z) ∂x.

Especialmente importantes en la física, los campos vectoriales conservativos son aquellos en los que integrar sobre dos trayectorias distintas que empiezan y terminan en los mismos dos puntos da el mismo resultado.

Teorema: un campo vectorial G = (g1, g2,…, gn) es un gradiente de alguna función si y solo cada par de derivadas ∂gi/∂xj = ∂gj/∂xi. Prueba: la parte “sólo si” es obvia : si G = ∇f entonces los parciales mixtos de f son iguales .

Recıprocamente, se dice que un campo vectorial continuo F : A ⊆ Rn −→ Rn es un campo vectorial gradiente si existe un cierto campo escalar f : A −→ R de clase C1 tal que F = ∇f. En este caso se dice que f es una función o campo potencial para F.

Un campo vectorial V se llama suave si es suave como un mapa V : M → TM . Si V es un campo vectorial en Mn y x: U → W es un gráfico de coordenadas local. en M donde U está abierto en M, W está abierto en Rn, entonces se puede escribir V |U. como V (p)=Σn.

La segunda forma es utilizar los vectores unitarios estándar: ⇀F(x,y)=P(x,y)ˆi+Q(x,y)ˆj. Se dice que un campo vectorial es continuo si las funciones que lo componen son continuas .

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Los matemáticos y científicos llaman cantidad vectorial a una cantidad que depende de la dirección. Una cantidad que no depende de la dirección se llama cantidad escalar . Las cantidades vectoriales tienen dos características, una magnitud y una dirección. Las cantidades escalares sólo tienen una magnitud.

Como ejemplos de campos escalares podemos citar el campo de temperaturas de un sólido o el campo de presiones de un gas. Si a cada punto (x,y,z) de una región del espacio se le puede asociar un vector E(x,y,z), queda definido un campo vectorial E en esta región.

Un campo escalar es una función real de varias variables en la que a cada punto de su dominio se le asigna el valor que toma una determinada magnitud escalar sobre dicho punto, f : A ⊂ Rn → R.

Un campo de vectores X es diferenciable si, y sólo si, X(f) es una función diferenciable para toda función diferenciable f. (X +Y)(f) : M → R, (X +Y)(f)(p) = Xp(f)+Yp(f).

Campo vectorial irritacional. Un campo vectorial F en R3 se llama irrotacional si curlF = 0 . Esto significa, en el caso de un flujo de fluido, que el flujo está libre de movimiento de rotación, es decir, sin remolinos.

La cantidad v(x, y,z,t) se llama campo vectorial de velocidad. Se puede considerar en cada instante como una colección de vectores, uno para cada punto en el espacio, cuya dirección y magnitud describen la dirección y magnitud de la velocidad del fluido en ese punto (Figura 28.1).

Si es conservador entonces →F=∇ϕ para algún potencial ϕ, usando una identidad muy útil, ∇×→F=∇×∇ϕ=0, esto significa que si el campo es conservador, no se curvará alrededor de ningún punto ¡Serán líneas rectas , algo que parece un campo eléctrico o gravitacional!

Un rotacional no nulo indica que en los alrededores del punto, las líneas de campo son arcos, o sea que es una región donde el campo se está curvando. La dirección del vector rotacional es perpendicular al plano de curvatura, y su intensidad indica el grado de curvatura que sufre el campo.

Definición 1.1 Una función potencial para un campo vectorial F = <f,g,h> es una función ϕ tal que F = Vϕ . Un campo vectorial F es conservador si tiene una función potencial. Definición 1.2 Una región R en R2 o R3 es conexa si cada par de puntos en R se puede conectar con una curva continua que se encuentre completamente dentro de R.

Un campo gradiente (continuo) es siempre un campo vectorial conservador: su integral de línea a lo largo de cualquier camino depende sólo de los puntos finales del camino y puede evaluarse mediante el teorema del gradiente (el teorema fundamental del cálculo para integrales de línea).

Definición: espacio vectorial.

Cualquier conjunto que posea unas operaciones suma y producto por escalares, cumpliendo todas las propiedades anteriores, diremos que es un espacio vectorial. Los elementos de tal conjunto se llamarán vectores (aunque pueda tratarse de objetos diferentes a los vectores de la Física.)