¿Quién determina la concavidad de una función cuadratica?

CONCAVIDAD DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA: Concavidad es la abertura que tiene la parábola. De acuerdo al valor que toma a, se dan los siguientes casos: - Si a > 0, entonces la parábola se abre hacia arriba (concavidad positiva). - Si a < o, entonces la parábola se abre hacia abajo (concavidad negativa).

La concavidad se relaciona con la razón de cambio de la derivada de una función. Una función ‍ es cóncava hacia arriba en los intervalos donde su derivada, ‍ , es creciente. Esto es equivalente a que la derivada de ‍ , que es ‍ , sea positiva.

Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo. Además, cuanto mayor sea |a| (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola.

CONCAVIDAD HACIA ABAJO: La gráfica de una función se dice que es cóncava hacia abajo alrededor de un punto, si la gráfica queda por abajo de las rectas tangentes, alrededor de dicho punto. En este caso también se puede decir que la curva es convexa.

La función del coeficiente a en la ecuación general es de hacer la parábola "más amplia" o "más delgada", o de darle la vuelta (si es negativa): Si el coeficiente de x ² es positivo, la parábola abre hacia arriba; de otra forma abre hacia abajo.

Teorema 19: Criterio sobre concavidad.

Sea f una función cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto (a,b). Si f''(x)>0 para toda x en (a,b), entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en (a,b). Si f''(x)<0 para toda x en (a,b) , entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajoen (a,b).

Una función es convexa si la gráfica de la función queda por encima de la recta tangente en cada punto. Una función es cóncava si la gráfica de la función queda por debajo de la recta tangente en cada punto.

En las parábolas verticales, cuando el parámetro es positivo la parábola se abre hacia arriba. Cuando p es negativo, la parábola se abre hacia abajo. Igualmente, en las parábolas horizontales, cuando p es positivo, se abre hacia la derecha y cuando p es negativo, la parábola se abre a la izquierda.

Toda función cuadrática posee un máximo o un mínimo, que es el vértice de la parábola. Si la parábola tiene concavidad hacia arriba, el vértice corresponde a un mínimo de la función; mientras que si la parábola tiene concavidad hacia abajo, el vértice será un máximo.

El dominio de toda ecuación cuadrática son todos los números reales . El rango de una parábola depende de si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo. Si es positivo, el rango será y ≥ k . Si es negativo, el rango será y ≤ k , donde k = the y − coordenadas del vértice.

En matemática, una función convexa una función real es convexa en un intervalo (a,b), si la cuerda que une dos puntos cualesquiera en el grafo de la función queda por encima de la función.

Si la derivada es positiva, el ángulo de la recta tangente con la horizontal estará entre 0º y 90º, y diremos que la función es Creciente. Por el contrario, será Decreciente, cuando la derivada sea negativa.

En geometría, la concavidad de una curva o de una superficie es la parte que se asemeja a la zona interior de una circunferencia o de una esfera,​ es decir, que tiene su parte hundida dirigida al observador.

Matemático y astrónomo (1114 Bijapur, India, 1185 Ujjain, India) Bhaskara es también conocido como Bhaskara II o como Bhaskaracharya, que significa "Bhaskara el maestro". Bhaskaracharya es probablemente el matemático indú de la antiguedad mejor conocido.

Como ya se dijo, en una función cuadrática de forma f(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0, las letras a, b y c se denominan coeficientes; el coeficiente c de una función cuadrática se llama constante.

Las funciones cuadráticas tienen las siguientes propiedades: - Dominio es el conjunto de los números reales. Si a es positivo, la parábola es cóncava, hacia arriba. Si a es negativo, la curva es cóncava hacia abajo. Cuanto mayor es "a" en valor absoluto, más cerrada es la curva.

Pero se tiene un caso especial. Cuando el valor de la segunda derivada de la función es evaluado en el punto crítico y es cero. En este punto, la derivada deja de crecer (o decrecer) y empieza a decrecer (o crecer). A este punto crítico lo llamaremos punto de inflexión.

Para determinar el crecimiento y decrecimiento de una función, debes hallar los puntos de discontinuidad de la función y la primera derivada de la función. Después, determina el signo de la primera derivada en los intervalos dados por los puntos de discontinuidad y las raíces de la primera derivada.

Puntos máximo y mínimo

Los máximos y mínimos de una función cuadrática corresponden siempre con el vértice de la parábola que representa esa función, entonces: Si a > 0, la parábola se abre hacia arriba. Por lo tanto, el vértice corresponde al punto mínimo de la función. Si a < 0, la parábola se abre hacia abajo.

El vértice es el punto más alto o más bajo de la curva, dependiendo si la U se abre hacia arriba o hacia abajo. En el caso de que la parábola abra hacia arriba, el vértice será su punto más bajo; y una parábola que abre hacia abajo, tendrá un vértice en su punto más alto.

Eje de simetría (eje): representa la recta vertical simétrica con respecto a la parábola. El eje de simetría de una parábola puede determinarse mediante la siguiente expresión: donde x₁ y x₂son las raíces de la función cuadrática.

Un máximo es el valor más grande que tiene la función local o globalmente. Un mínimo es el valor más pequeño que tiene la función local o globalmente. Un mínimo local es el valor más pequeño que tiene la función en un intervalo. Un máximo local es el valor más grande que tiene la función en un intervalo.

En este caso, a, b y c son los términos de la ecuación: números reales, con a siempre con valor diferente a 0. Al término ax al cuadrado es el término cuadrático, mientras que bx es el término lineal y c, el término independiente.

Se saca la segunda derivada de la función y se evalúa la función con los valores críticos previamente obtenidos. Si el resultado es menor a cero entonces tenemos un punto máximo y si es mayor a cero entonces es un punto mínimo.

Un discriminante de cero indica que la cuadrática tiene una solución real repetida. Un discriminante negativo indica que ninguna de las soluciones son números reales.

Resulta que para determinar el rango de una función cuadrática, todo lo que necesitamos saber es la coordenada ‍ Esto es fácil de determinar a partir de la forma canónica de una ecuación cuadrática, y = a ( x − h ) 2 + k ‍ . En esta forma la parábola tiene su vértice en ‍ , y abre ‍ cuando ‍ , y ‍ cuando ‍ .

Para facilitar la obtención de los elementos de la función cuadrática se requiere pasar de la función cuadrática de la forma general y=ax2+bx+c a la forma estándar y=a(x−h)2+k.